2021 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
19K03402
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
上岡 修平 京都大学, 情報学研究科, 助教 (70543297)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 平面分割 / 数え上げ組合せ論 / 直交多項式 / 可積分系 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
逆平面分割は，積の形に表すことができる「よい」母関数を持つ組合せ論的オブジェクトであり，組合せ論における主要な研究対象のひとつである．本研究の主目的は，逆平面分割およびそれに類する組合せ論的オブジェクトに対して，よい母関数を新規に発見・構成することである．本研究の特色として，よい母関数を構成するために直交多項式および可積分系を利用する．
本研究の3年目にあたる令和3年度には，逆平面分割に類する組合せ論的オブジェクトである半標準盤およびアステカダイヤモンドのタイリングに対して，直交多項式および可積分系を用いて未知のよい母関数を新規に構成した．具体的な成果は次の通りである．
（１）古典直交多項式のひとつであるAskey-Wilson多項式の関係式を用いて，半標準盤のフック・コンテント公式を拡張した．半標準盤についてフック・コンテント公式は最も基本的な母関数公式のひとつである．本研究では同公式に対して，積の構造を保ちつつ，Askey-Wilson多項式由来のパラメータを追加することに成功した．
（２）可積分系のひとつである離散戸田方程式の特殊解を用いて，アステカダイヤモンドのタイリングに対して未知のよい母関数（分配関数）を構成した．同タイリングのよい母関数としてはStanleyによるものがよく知られている．本研究では離散戸田方程式のソリトン解を応用することにより，Stanleyの母関数と包含関係を持たない全く新しい母関数を構成することに成功した．
以上の成果は，組合せ論における新しい公式を導出する点において，また組合せ論に応用可能な新しい道具を提示する点において意義あるものと考える．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
令和3年度の当初計画では主に次の事項の実施を予定していた．
・対称な逆平面分割のよい母関数：直交多項式および可積分系を用いて，逆平面分割の特別クラスにあたる対称な逆平面分割に対して，よい母関数の構成法を定式化し具体例を計算する．
研究実績の概要で述べた通り，本年度は同様の研究を，半標準盤およびアステカダイヤモンドのタイリングに対して実施した．その結果として逆平面分割とは異なる組合せ論的オブジェクトについて，当初の目論見外の成果を得ることができ，本研究の方法論について別観点から理解を深めることができた．一方で対称な逆平面分割については，よい母関数の予想式など準備段階の知見はあるものの，上記の事項の実施を完遂できていない．次年度以降は当初の計画に立ち戻り，対称な逆平面分割について研究を進める必要がある．
|
| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度以降は下記2点を実施する．
（１）直交多項式および可積分系による対称な逆平面分割のよい母関数の構成（R4年度）：
逆平面分割およびそれに類する組合せ論的オブジェクトに関する本研究の知見を活用し，対称な逆平面分割に対して，直交多項式および可積分系によるよい母関数の構成法を定式化する．またそれに基づきよい母関数の具体例を構成する．対称な逆平面分割の母関数はパフィアンで表せる場合が多いため，定式化の際には歪直交多項式（skew orthogonal polynomials）などパフィアンと関連深い直交多項式や，パフィアン解を持つ可積分系を利用する．具体例の構成の際には，古典直交多項式の歪類似などを拡張しつつ利用する．
（２）新しい直交多項式の詳細な解析（R4~5年度，必要に応じて随時）：上記（２）において未知の新しい直交多項式が現れた場合，その性質を詳しく調べる．特に古典直交多項式やその歪類似を拡張して得られるものに対して，元々あったよい性質（明示公式，直交関係式，微分・差分方程式による特徴付け，上昇・下降演算子の存在など）について重点的に調べる．その過程で新しい直交多項式が見つかった場合，その成果をフィードバックしてよい母関数のさらなる新発見につなげる．
|
| Causes of Carryover |
次年度使用額（1,520,390円）が生じた理由は，ひとつは新型コロナウイルス感染症の蔓延によるものである，これにより参加を予定していた研究集会・学会（日本応用数理学会年会・同研究部会連合発表会，日本数学会秋季総合分科会・同年会等）および国際会議（FPSAC 2021，等）がすべてオンライン参加となったため，そのために計上していた旅費等を次年度以降に振り替えることにした．くわえて当初購入予定であった研究用計算機について，適当な新機種の登場が次年度に見込まれるため，そのために計上していた物品費を次年度に振り替えることにした．
次年度には当初，物品費（関連分野の図書の購入等）に100千円，国内外の旅費（成果発表，関連分野の情報収集，研究打合せ等）に 400千円の計500千円を請求していた．これに加えて次年度使用額分（約150千円）を次のように使用する．（１）研究用計算機の購入（700千円）（２）旅費の追加（400千円，次々年度分も含む）（３）オンライン会議用設備（ビデオカメラ，マイク等）の増強（200千円）（４）オンラインによる研究交流・研究会等における謝金等（200千円，次々年度分も含む）．
|
Research Products
(3 results)
