2023 Fiscal Year Annual Research Report
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19K03402
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| Research Institution | Osaka Seikei University |
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Principal Investigator |
上岡 修平 大阪成蹊大学, データサイエンス学部, 准教授 (70543297)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 組合せ論 / 平面分割 / ヤング盤 / 直交多項式 / 可積分系 / 乱択アルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
逆平面分割は「よい」母関数，すなわち解析しやすい積表示を持つ母関数（分配関数）を持つ組合せ論的オブジェクトであり，組合せ論分野における重要な研究対象である．本研究の主目的は，逆平面分割などの組合せ論的オブジェクトに対して未知のよい母関数を構成することである．本研究の特色は，そのために直交多項式および可積分系をツールとして利用する点にある．主な研究成果を以下にまとめる．
（１）逆平面分割のよい母関数：古典直交多項式（Askey-Wilson多項式）およびそれらに付随する可積分系（離散2次元戸田方程式）の特殊解から，逆平面分割の未知のよい母関数を構成した．この母関数は，既知のよい母関数（MacMahon母関数，トレース母関数など）の一般化を与える．
（２）アステカダイヤモンドのよい母関数：アステカダイヤモンドのタイリングは可解な組合せ・統計力学モデルである．本研究では，同タイリングに対して可積分系の特殊解（離散戸田方程式のソリトン解）から未知のよい母関数を構成した．この母関数は既知の母関数と包含関係のない全く新しいものである．
（３）半標準盤のよい母関数：半標準盤は組合せ論や表現論の基本的な研究対象である．半標準盤の公式のひとつにフック・コンテント公式がある．本研究では，古典直交多項式（Askey-Wilson多項式）から同公式を拡張する新しい公式を構成した．さらに最終年度には，可積分系（離散二次元戸田方程式）の解から同公式を拡張するさらに新しい公式を構成した．
（４）逆平面分割の乱択アルゴリズム：組合せ・統計力学モデルの極限形状などを調べる上で，高性能な乱択アルゴリズムは重要である．本研究では，離散二次元戸田方程式を用いて，既存の手法と同程度に高速な逆平面分割の乱択アルゴリズムを開発した．さらに最終年度には，同手法を並列化し既存アルゴリズムを上回る高速性を実現した．
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