Toward to the affirmative solution of some conjectures on finite groups and vertex operator algebras

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03403
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Ehime University
• Principal Investigator: Abe Toshiyuki 愛媛大学, 教育学部, 教授 (30380215)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 頂点作用素代数 / 有限群 / 表現論 / 原田予想 / Moonshine頂点代数

Outline of Final Research Achievements

In this research, I have tried two conjectures in the theory of finite groups and that of vertex operator algebras.The conjectures I have treated are (1) ``Harada's conjecture II" for finite groups and (2) ``Finiteness of the automorhism group of a holomorphic VOA, (3) ``The uniquness conjecture of the Moonshine VOA" for vertex operator algebra. As for (1), I could give a necessary and sufficient condition for the conjecture by menas of Gramian determinant of the group algebra, and as for (2) and (3), I could find som relationship among Zhu's algebra, generalized vertex operartors, endomorhisms of the universal enveloping algebra and Li's Delta-operators.

Free Research Field

頂点作用素代数の表現論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

今回の課題において取り扱った予想は, 比較的基本的な予想である. 予想(1) は有限群論における共役類と既約指標という基本的量に関する観察に端を発しており、なぜ成立するのかについて専門家からも不思議で魅力的な予想である。その予想に関し、本研究では表現論を経由せず群論のみの解釈で予想解決に取り組むことを明らかにした。予想（２）,（３）に関しては頂点作用素代数の黎明期からの予想であるが、本予想にtwisted加群を構成するという観点から取り組んだものである。その過程では、これまで知られてきているいくつかの概念が関連し合っていることに気づくことができた。