2019 Fiscal Year Research-status Report
p進ラングランズ対応を用いた一般化岩澤主予想の解決へ向けて
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19K03404
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
中村 健太郎 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (90595993)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 岩澤主予想 / p進ラングランズ対応 / オイラー系 / モジュラー曲線 / 保型形式 / 楕円曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
加藤和也氏によって構成された保型形式に付随するガロア表現に対するゼータ元の構成は、岩澤主予想の研究の歴史において時代を画する大結果であった。一方、ガロア表現と保型形式（保形表現）との対応に関するラングランズ対応のp進版として、p進（局所および大域）ラングランズ対応が近年活発に研究されている。本研究は、加藤和也氏のゼータ元の構成の理論をp進ラングランズ対応の理論を用いて再解釈することで、加藤のゼータ元を階数２の普遍変形に対して拡張する（階数２の普遍変形に対してゼータ元を構成する）ことが目的である。このような拡張は、加藤和也氏により提唱された一般化岩澤主予想で存在が予想されている対象であるが、本研究以前までにその存在は知られおらず、おそらくp進ラングランズ対応を用いて初めて構成できる物である。前年度までに、p進ラングランズ対応における重要な理論のほぼ全て（コルメツによるGL_2(Q_p)に対するp進局所ラングランズ対応の構成、エマートンによるモジュラー曲線の完備化コホモロジーを用いたp進局所ラングランズ対応の幾何的実現の理論、パスクナスによるGL_2(Q_p)の表現の変形理論、エマートン・ヘルムによる古典的局所ラングランズ対応のp進族の理論）を用いることで普遍変形に対するゼータ元を構成する方法の筋道を立てることはできていたが、今年度はこの構成の全行程の細部を詰めることができ論文もほぼ書き上げることができた。また、この研究以外に韓国KIASのChan-Ho Kim氏との共同論文の雑誌への掲載が決定した。この論文では、pで加法的還元を持つ場合の岩澤主予想の成立を数値計算によって確かめる方法が確立されている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
論文執筆に当初の想定よりも長く時間がかかってしまったが、論文を執筆する過程で、加藤のゼータ元とp進ラングランズ対応との関係が研究着手当初思い描いていたよりもはるかに緊密であることを発見することができた。今年度はその関係性の全てを細部まで論文に書くことができた。論文の（ほぼ）完成により、翌年度から研究計画にある次の研究に着手することができる。
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| Strategy for Future Research Activity |
階数２の普遍変形に対するゼータ元の応用として、(1)Coleman-Mazur 固有曲線上のガロア表現の族に対するp進L関数の 構成および岩澤主予想への応用、(2)階数2の普遍ガロア変形に対する加藤のイプシロン予想の証明、そして最後に(3)pで悪い還元を持 つ場合への岩澤主予想への応用の研究を行う。(1), (2)については、普遍変形のゼータ元の存在と申請者が従来行なってきたファイガンマ加群の局所岩澤理論の研究を用いて研究を進めていく。(3)の研究が普遍変形のゼータ元の構成の（申請者の）最終目標である。
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| Causes of Carryover |
残金を用いて日本数学会に参加する予定であったがコロナ禍により中止となったため。翌年度はオンラインセミナーが増えることが予想されるため、この残金を用いてオンラインセミナー発表で使用するタブレットなどを購入する。
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