有限群の表現空間と指標を用いた群の構造の研究

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03405
• Research Institution: Kumamoto University
• Principal Investigator: 千吉良 直紀 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40292073)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 有限群 / 既約指標 / 共役類

Outline of Annual Research Achievements

本研究では表現空間や指標などを用いて、有限群の共役類と指標の関係、また表現空間内に構成される組合せ構造の研究およびそれを用いた有限群の構造の研究を行うことを目的としている。特に、指標表に関する原田予想とその予想をさらに交換子群の位数で割った予想およびそれから派生する問題について研究を行うことで有限群の持つ新たな性質を発見することが本課題の目標である。
本年度は、原田予想についての研究を中心に行っている。特にp群についての研究を中心に行った。ある特別なクラスのp群について原田予想が成り立つことを検証した。p群では既約指標の次数と共役類の元の個数が等しくなる群が沢山ある。同じ値をとる群についての群の構造の関係を調べることが重要であることが分かってきた。
p群に限らず、一般の場合の原田予想については、既約指標の次数で群の位数を割った数に注目して、その積がどのようなどのような数で割れているかについての検証を行った。いくつかの特別な群については指標表から作られるある行列を変形することで、各共役類の代表元の中心化群の位数で割れることがわかった。この方法を用いることができる群の特徴づけやその方法を一般化するための研究が必要であることがわかった。
派生する問題として、共役類の平均値に関する飛田氏の予想がある。その予想の拡張ついての考察を行い、ある特別な群の特徴づけを行えばよいということが分かった。この群の構造についてはよくわかっているので、予想の解決に向けての重要な足掛かりになると思われる。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

原田予想に関して、多くの群の検証を行ってきているが、個々の群特有の性質と一般論との関係が分かりにくい。特別なp群に限ってもかなり複雑な計算を要する。そのために時間がかかっているが、着実に進展している。本研究では、関連する他の研究者との研究討論を中心にして研究を進める予定であったが、社会情勢などにより、他の研究者との研究討論などを十分に行えていない状況もある。

Strategy for Future Research Activity

原田予想については、p群で成立することを示すということが最も基本的で重要な問題である。今後の研究では、p群に注目して引き続き研究を行う必要がある。そのために、p群の構造と指標、共役類の関係を精査し、研究を進める。特にある特別な部分群からの指標の誘導などといった基本的な手法に加えて、指標表で作られる行列の性質、いくつか似た構造をもつ群の関係を調べるなど、これまでの研究を集約させて研究を進める。
関連する飛田氏の予想の拡張についてはある種の群の特徴づけになるので、共役類の性質からの群の特徴づけについての研究を進める。
また、関連する単因子などの不変量についての研究も引き続き行い、問題の解決に向けて研究を進める。

Causes of Carryover

本研究を推進するうえで、関連する他の研究者との研究討論が必要不可欠である。本年度はコロナの影響があり、出張を行うことが全くできない状況であったため次年度の使用額が生じた。今後は、直接研究者との対面による研究討論に合わせて、webなどを用いて有効な研究討論を行う計画である。また、研究を進めるため、計算機など必要な物品や関連する書籍等を購入することで研究の進展を図る。