2019 Fiscal Year Research-status Report
テンソル圏を用いた頂点作用素代数の構成とその対称性の研究
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19K03409
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
山内 博 東京女子大学, 現代教養学部, 准教授 (40452213)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 頂点作用素代数 / テンソル圏 / 3互換群 / W代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究ではテンソル圏を用いた頂点作用素代数の拡大理論を追求する。当初の具体的な課題として，レベル28のA1型アフィン頂点作用素代数の例外型拡大を用いた中心電荷24の正則頂点作用素代数の構成，レベル9と12のA2型アフィン頂点作用素代数の例外型拡大を用いた中心電荷23の頂点作用素代数の構成，およびそれらの自己同型群の決定を設定した。当該年度ではこれらの課題に取り組み，また派生する問題や定式化についても研究を行った。
A1型に関する課題については，そのコアとなる拡大について，格子頂点作用素代数に付随した軌道体模型を用いて具体的な構成を与え，そのフュージョン代数を決定した。その結果として，この手法で得られる中心電荷24の正則頂点作用素代数を完全に分類することに成功した。
A2型に関する課題については，次数1の部分空間が自明であると期待していたが，様々な状況証拠により，そうではない可能性もありえることが分かった。そのため，次数1の部分空間の次元を計算し，これを確認する必要がある。W代数のコセット構成法を用いるアプローチを検証し，計算手法に関するおおよその見通しが立てられた。
例外的な自己同型についても様々な角度から検証を行った。A1型の課題については，フィッシャー群の作用が期待されるが，全自己同型群の有限性を除いて，その確立に向けた見通しが立ちつつある。A2型については不明な点が多く，ステルマッハーらによる位数3の元で生成される群構造に関する先行研究との関連について，検討を行った。
関連する課題として，モジュラー圏の分類から派生した中心電荷33極値的頂点作用素代数の存在についても研究を行い，これを実際に構成し，肯定的に解決することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初設定した目標課題について，問題の定式化や，取り組むべき部分的な課題の把握ができており，順調に研究が進行している。
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| Strategy for Future Research Activity |
A1型の課題については，単純カレント拡大を用いることで，正則頂点作用素代数への拡大を分類することができたので，今後は例外的な拡大に現れる自己同型の構成と決定が課題となる。全自己同型群が有限であれば，様々な先行研究の結果を援用することができるので，有限性を示すことが一つの課題である。また，例外的な拡大に伴って現れる自己同型を具体的に構成することが望まれるが，群論的推察からイジング元を発見・構成できないか試みる。
A2型の課題については次数1の空間の次元を具体的に計算し，決定する。もしこれが自明であれば，未知の頂点作用素代数の構成に繋がる。一方，これが自明でなければ，リーチ格子に付随した頂点作用素代数に埋め込めることが期待される。また，A2型のW代数で生成される頂点作用素代数のクラスについて基礎研究を行い，ステルマッハーらの群論における先行研究結果との関連について，追求する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響により，３月中旬以降の出張を取りやめたため。次年度以降の旅費として使用する予定であるが，ウイルスの影響により，そもそも出張できないことも考えられる。その場合の対応は未定である。
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