2022 Fiscal Year Research-status Report
Determination of Geometric and Arithmetic Conditions Guaranteeing Non-density of Integral Points in Algebraic Varieties and in Orbits
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19K03412
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
安福 悠 日本大学, 理工学部, 教授 (00585044)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 一様有界性 / 高さ関数 / 有理点 / 軌道 / Vojta予想 / 最大公約数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度もCOVID-19の影響は続き，日本への入国制度が予告なく変遷することから海外から研究者を招聘することは難しかった．一方で，他機関が国内に招聘した海外研究者と研究討議をしたり，久々に海外での国際研究集会に現地参加したりすることができ，最近の研究の進展について直接意見交換することができた．また，国内で開催される研究集会は2019年と同じくらい活発となり，副代表を務めた国際研究集会「解析的整数論とその周辺」 (於京都大学数理解析研究所)には130人もの参加者があり，幅広い整数論分野の知見を得られた．
新しい研究結果としては，Giang Le氏の結果及び松澤陽介氏の結果を用いることで，軌道上の点が整数点となる合成回数の上界を，軌道の開始点によらず一様に制限できることを証明した．これは一次元の場合でも新しい結果であり，論文はまだ投稿中であるが，京都大学数理解析研究所で開かれた国際研究集会「複素力学系と関連分野」で口頭発表を行った．また，Schmidtの部分空間定理に基づいたRu--Vojtaの定理を用いることで，准整数点と呼ばれる点を2次元で分析することにも成功し，新しい最大公約数の不等式を得ることができた．こちらも論文はまだ投稿中であるが，大分熊本整数論集会で口頭発表を行った．この研究については，バンフ国際数学研究所で開かれた国際研究集会「Specialization and Effectiveness in Number Theory (数論における特殊化と計算実効性)」でも参加者に周知することができ，特にJulie Wang氏 (台湾中央研究院)とは，3次元以上の空間への拡張について研究討議を行った．一年を通じて，整数論や代数幾何の研究集会に参加することで，ディオファントス近似や代数多様体の有理点についての最新の研究の知見を得ることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
軌道上の整数点を一様におさえる上界を導いた結果や，2次元において準整数点が満たす不等式を得ることができた．また，これらの成果について口頭発表する機会も与えられたので，研究はおおむね順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
2023年度は，軌道の整数点の一様有界性をさらに精密化する．2022年度に得られた結果では例外集合を設ける必要があったが，例外集合を設けないと成り立たないような具体例を構築するか，あるいは例外集合なしで同じ定理の証明を試みる．また，準整数点については，3次元以上で同様の結果が得られないか引き続き研究していく．このために，Schmidtの部分空間定理の活用法を工夫したり，あるいはSchmidtの部分空間定理の主張そのものをより精密化したりする．
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| Causes of Carryover |
COVID-19の影響で，日本政府の入国制度が先行き不透明だったことから，当初予定していた海外の複数の研究者の招聘が延期となり，主に旅費に残額が生じた．2023年度の招聘を予定しており，使用する計画である．
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[Book] 図解する整数論2022
Author(s)
Martin H. Weissman、安福 悠
Total Pages
336
Publisher
丸善出版
ISBN
978-4621307281
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