2019 Fiscal Year Research-status Report
Explicit construction of Hodge complexes of algebraic varieties and applicationa
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19K03414
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
花村 昌樹 東北大学, 理学研究科, 教授 (60189587)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 混合Hodge構造 / 対数的微分形式 / Hodge複体 / Cauchy-Stokes公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
抽象的Hodge複体と明示的Hodge複体の比較． コンパクトと限らないスムースな複素代数多様体Xとその正規交叉因子Hに対し, Beilinsonによる「抽象的」Hodge複体K(X, H)はコホモロジーH*(X, H)およびそのHodge構造を与える．他方，代表者は明示的Hodge複体E(X, H)を構成し，やはり同じコホモロジーを与える．後者はその構成要素である３つの複体を持つが, その1番目はX上の位相的チェインの複体からなる(より詳しくは，X上の位相的チェインの複体からH上の位相的チェインの複体への制限写像を定め，その錐複体として定義される．)２番目はHに対数的特異点をもつ微分形式のなす複体の双対であり，3番目はX上の微分形式の複体とH上の微分形式の複体を用いて構成される．1番目と2番目の比較擬同型はCauchy-Stokes公式を用いて構成される．
これらの二つのHodge複体をHodge複体の圏の対象として比較するという問題が自然に生ずる．Xがコンパクトの場合にK(X, H)とE(X, H)がHodge複体として同型であることを証明した．(a) そのため，古典的なde Rhamの定理のWeilによる証明においては，微分形式の複体と，位相的チェインの複体を比較するが，この証明のアイディアを反映したもう一つのHodge複体R(X, H)を導入し，K(X, H)とR(X, H)が同型であることを示せる．(b) R(X)とE(X)を比較するには，微分形式の複体から位相的コチェインの複体への自然な写像が，それぞれの積とホモトピーを除き可換であるという定理(Gugenheimによる)を適切な形で用いる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1. 証明の基となるアイディアは，XがコンパクトでHが空の場合に，古典的なde Rhamの定理の証明と，Gugenheimの定理を適切に用いることによって得られることに至るのに時間を要した．2. また，二つのHodge複体を比較する際に，それぞれの３つ組をチェインレベルで比較することはできず，フィルター複体の間のフィルターつきホモトピーが必要となるが，それは(状況に応じた特殊な議論でなく)適切な一般論を展開して得られた．3. さらに，ウェイトフィルターを考察する際に，Deligneのウェイトでなく，そのdecalgeを考えることが不可欠で あった．4. この研究の過程で，Relative Borel-Mooreホモロジーの概念に自然に至る．これはE(X, H)の1つめの構成要素である複体が与えるホモロジー理論である．これ自体をさらに研究の対象とできる．
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| Strategy for Future Research Activity |
1. ２つのHodge複体を，Xがコンパクトと限らない場合に比較する研究を行う．さらに，(a)比較同型は一意的であるかどうか，(b) (X, H)について関手的であるかどうか，(c) 比較に現れるホモトピーを明示的に書くことができるかどうか, を研究する．
2. Relative Borel-Mooreホモロジーをより一般の位相空間の対に対して考察し，Relative Borel-Mooreホモロジーの満たす性質を定式化し，証明する．
3. ２つのHodge複体の比較を，混合Tateモチーフに限定し，詳しく考察する．とくにE(X, H)から混合Hodge構造を計算する手法を確立する．
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| Causes of Carryover |
感染症の蔓延にともない，計画されていた学会出張のいくつかと，研究打ち合わせのための出張，および研究者の招聘を中止せざるを得なくなり，次年度使用額を生じた．
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