Explicit construction of Hodge complexes of algebraic varieties and applicationa

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03414
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 花村 昌樹 東北大学, 理学研究科, 教授 (60189587)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: Borel-Mooreホモロジー / コホモロジー作用素 / 混合Hodge構造 / Cauchy-Stokes公式

Outline of Annual Research Achievements

Borel-Mooreホモロジーについての研究．(1) 局所コンパクト空間の無限chainの特異ホモロジーに対し「閉集合にサポートをもつcap積」の定義を与えた. (2) Borel-Mooreホモロジーと無限chainの特異ホモロジーの間のchainレベルでの同値を具体的に与えた．(3) この同値を通じて，それぞれのホモロジーにおけるサポートつきcap積が一致することを証明した．これは事実として専門家に使われてきたが，証明はここで初めて与えられた．(4) 局所コンパクト空間と閉集合の対(X, Y)で，「余次元 d の向きづけ」を持つものに対し，そのBorel-Mooreホモロジーを定義し，上記の(1)-(3)の一般化を行った．

2. 明示的Hodge複体の構成．複素数体上のスムースな代数多様体に対し，Deligneは混合Hodge複体の概念を与え，さらにBeilinsonはそれをチェインレベルで考察しHodge複体の概念を与えた．それとは別の次のような明示的な構成を与えた．(1) コンパクトと限らないスムースな代数多様体Xと正規交叉因子Hに対し, Hodge複体E(X, H)であって，次の二つの性質を満たすものを構成した．(a) E(X, H)の「有理成分」は，X上の位相的なチェインのなす複体であり，(b) E(X, H)の「複素成分」は，Hに対数的極を持つX上の微分形式の複体を用いて記述される．特に，Hodge複体E(X, H)には(原理的に計算のできない)Godement分解やカレントの空間が現れないという意味で明示的である．(2) この構成のため，対数的微分形式に対するCauchy-Stokes公式を定式化し証明した. (3)上記の明示的Hodge複体E(X, H)と，DeligneおよびBeilinsonによる抽象的Hodge複体の間の比較同型を構成した．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

1. Hodge複体の比較の問題に多くの時間と努力を使った．(1) 明示的なHodge複体を抽象的なHodge複体を比較するため， 代数多様体にblow-upを施して前者をより詳しく考察する方向で研究を進めていたが，実は前者をより簡明なもので置き換えれば，blow-upが必要ないことが分かり，全体としては見通しが良くなった．(2) 複体の比較のためにはホモトピー同値を具体的に与えることを目標としていたが，一般論を用いて抽象的に与えても良いことが分かり，その部分は簡略化がされた．具体的に与えることに意味もあり，それは研究中である．(3) 我々の明示的なHodge複体に関連した複体の研究がKingなどによって過去になされていることを知った．これらはカレントを用いているという点で，我々の複体とは異なるが関係しており，今後の研究課題である．


2. Borel-Mooreホモロジーの研究については，極めて厳密に研究結果をまとめて論文を書いた．それにより，対のBorel-Mooreホモロジーに関する研究も進展が容易となった．また，我々の研究の中の課題(キャップ積の比較)について，過去に研究を行った方がおり，問題設定に言及していたことを知った．

Strategy for Future Research Activity

1. Hodge複体の比較の問題に関し，上で述べたように，ホモトピー同値を具体的に与えることが目標である．より具体的には，対数的極をもつ微分形式に対し，適切な意味でのPoincareの補題を定式化し，その中でホモトピー同値をいわゆるPoincare作用素として与える．2. 上の明示的なホモトピー同値の構成がなされた後，スムースな代数多様体Xと正規交叉因子Hに対するHodge複体の構成を．XとHがともにsimplcial schemeである場合に拡張する．3. 次いで，この構成を代数多様体Xと標準的なsimplcial schemeとの積に適用する．(標準的なsimplcial schemeとは，位相的なsimplexの代数的対応物で, affine spaceとそれらの間の射からなる．)これより，高次Chow群からDeligneコホモロジーへのcycle写像を明示的に書き下す．4. 我々の明示的なHodge複体と，KingやJannsenなどによるHodge複体の関係を明確にする．

5. Borel-Mooreホモロジーを用いた，半代数的集合の交叉理論を構成する．

Causes of Carryover

新型コロナ感染症の蔓延が続いたことにより，出張や招聘，会議が全てできなかったことにより，旅費支出がなされなかった．

翌年度は新型コロナの社会的な対策が進むことが予期されるため，出張，招聘，会議主催が
可能となり，それに費用をより使う計画である．