Explicit construction of Hodge complexes of algebraic varieties and applicationa

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03414
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 花村 昌樹 東北大学, 理学研究科, 教授 (60189587)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: Hodge構造 / 代数多様体 / カレント / コホモロジー

Outline of Annual Research Achievements

1. コンパクトでスムースな代数多様体Xと正規交叉因子Yに対し, Hodge複体E(X-Y)であって， 次の性質を満たすものを構成した． 一般にHodge複体Eは，　Q-部分(フィルターづけをもつQ上の複体)と C-部分(２つのフィルターづけをもつC上の複体)およびその間の比較同型からなり，そのコホモロジーにHodge構造を与える構造物である．Deligne-Beilinsonの構成した「抽象的」Hodge複体は空間 X-YのコホモロジーのHodge構造を与える.
(a) E(X-Y)のQー部分は, 空間対(X, Y)上の位相的なチェインのなす複体である(そのため計算に有用である).　(b) E(X-Y)のCー部分は， 　XおよびY上のカレントの複体と，その間の自然な包含射を用いて記述され, ウェイトフィルターづけは自然に与えられる．　(c) E(X-Y)は空間 X-YのコホモロジーのHodge構造を与える．　　　重要な注意として，　Deligne-Beilinsonの「抽象的」Hodge複体は(a)の性質は満たさない．　　また上のE(X-Y)のC-部分の候補として対数的極をもつカレントの複体(J.King) をとると，それはフィルターづけを持たずHodge複体を与えない．　　そのため我々のHodge複体E(X-Y)の構成は新しいものであることが分かる．
2. このHodge複体E(X-Y)と, Deligne-Beilinsonによる「抽象的」Hodge複体との間に， Hodge複体としての同型を与えた(これより与えるHodge構造が同型であることも従う).そのために，(i) E(X-Y)のCー部分を層のレベルで考察し，ウェイトフィルターづけと次数による規準的フィルターづけを比較する．(ii) またE(X-Y)のCー部分を対数的微分形式の複体と比較する．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

1. 本年の当初の主な目的は上記の結果を得ることでなく，その前段階の次が目的であった．　(*) コンパクトでスムースな代数多様体Xと正規交叉因子Hに対し, Hodge複体E(X, H)で次の性質を満たすものを構成する．
(a) E(X, H)のQ-部分は，X及びH上の位相的なチェインのなす複体であり，　(b) E(X, H)のC-部分は，Hに対数的極を持つ微分形式の複体を用いて記述される．　(c) E(X, H)は空間対(X, H)のコホモロジーのHodge構造を与える．　　この結果(*)だけでなく, 上記の結果を得ることができたため，おおむね順調であったと言える．
2. 上記の結果は層のレベルで(すなわち局所的に)定式化と議論をすることができるため，さらに一般化するにあたって見通しがつけやすくなった．

Strategy for Future Research Activity

次の段階としての問題は以上の通りである．
(i) 以上の結果をXがコンパクトと限らないスムースな場合に拡張する.
(ii) この構成が共変，反変の関手性を持つことを示す．
(iii)　これらの複体を用いてDeligne-Beilinsonコホモロジーを計算する複体を得る. それを具体的な計算に用いる． 過去に得られていた種々の公式を包括する一般化ができることが期待できる．

Causes of Carryover

感染症が継続して蔓延しており，　　出張や研究発表，　研究打ち合わせが大幅に制限された．

次年度は感染症対策が緩和されるに従い，　これらの制限も少なくなり，　出張や研究発表，　研究打ち合わせが多くなることが期待できる．