2020 Fiscal Year Research-status Report
EW加群におけるDemazure加群の半無限LSパスを用いた研究と幾何的応用
| Project/Area Number |
19K03415
|
|---|
| Research Institution | University of Tsukuba |
|---|
Principal Investigator |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40344866)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 量子アフィン代数 / 結晶基底 / エクストリーマル・ウェイト加群 / 半無限LSパス / 量子LSパス / Demazure加群 / 量子alcove模型 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
\mathfrak{g} を複素数体上の有限次元単純リー代数とする．\mathfrak{g}_{af} を \mathfrak{g} に付随した（捻じれのない）アフィン・リー代数とし，W_{af} をアフィン・ワイル群とする．\mathfrak{g} の優整ウェイト \lambda に対して，V(\lambda) を量子アフィン代数 U_{q}(\mathfrak{g}_{af}) 上のレベル・ゼロのエクストリーマル・ウェイト(EW)加群とする．W_{af} の元 x に対して V_{x}(\lambda) を V(\lambda) における Demazure 加群とする．このとき，V_{x}(\lambda) の次数付き指標 gch V_{x}(\lambda) が自然に定まる．
2020年度（令和２年度）は，C.Lenart氏と内藤聡氏との共同研究で，Lenart と Postnikov (2007) によって予想された「旗多様体の量子K-群における，量子 Bruhat 作用素を用いた Chevalley 型の公式」を証明した．さらに，河野隆史氏，D.Orr氏，内藤聡氏との共同研究で，\mathfrak{g} が simply-laced であり，\mu が一般の minuscule ウェイトである場合に，Monk 型の展開公式，すなわち，e^{\mu}gch V_{x}(\lambda) を gch V_{y}(\lambda) (y \in W_{af}) たちの \mathbb{Z}[q^{\pm 1}]の元を係数とする線形結合に展開する公式を証明した．このMonk型の公式により，一般の minuscule ウェイト \mu と W_{af} の元 x に対して，K_{T \times \mathbb{C}^{\ast}}(\mathbf{Q}_{G}) における積 e^{\mu} \cdot [\mathcal{O}_{\mathbf{Q}_G(x)}]の組み合わせ論的な展開公式が得られた．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」で述べたとおり，2020年度（令和２年度）には，当研究の目標の１つであった「旗多様体の量子K-群における，量子 Bruhat 作用素を用いた Chevalley 型の公式」を証明できた．
加えて，やはり「研究実績の概要」で述べたとおり，Monk型の公式についても大きな進展があった．さらに，\varpi_{i} が基本ウェイトで，\lambda = N \varpi_{i} (N は正の整数) かつ \mu = \varpi_{i} の場合の，gch V_{x}(\lambda+\mu) に対する放物型の Pieri-Chevalley 型の公式に関する研究も進めている．これらについては，当初の研究計画にはなかったが，当研究とも密接に関連した研究成果であり，当研究への応用も十分に期待できる．
以上の理由により，上記の評価とする．
|
| Strategy for Future Research Activity |
申請書の計画にそって研究を進める．特に，[\mathcal{O}_{\mathbf{Q}_{G}(y)}] \cdot [\mathcal{O}_{\mathbf{Q}_{G}(y)}] の展開公式についての研究を行う．まずは当初の計画どおり，Pieri-Chevalley 型の公式を繰り返し使うことで上記の積を展開する．加えて，2020年度に得られたMonk型の公式も活用する．計算には Sage を用いようと考えている．展開公式の予想をたてた後，証明を行う．
ところで，Monk型の公式については，現状，\mu が minuscule の場合にしかできていない．上述のような応用のためには，\mu が一般の整ウェイトの場合の公式も欲しいところである．当研究においても引き続き Monk 型の公式についての研究を行いたいと考えている．
|
| Causes of Carryover |
2020年度はコロナ禍のため，研究打ち合わせのための出張がまったくできなかった．2021年度に出張ができるような状況になれば，次年度使用額を充てる予定である．
|
