2021 Fiscal Year Research-status Report
EW加群におけるDemazure加群の半無限LSパスを用いた研究と幾何的応用
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19K03415
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40344866)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / 結晶基底 / エクストリーマル・ウェイト加群 / 半無限LSパス / 量子LSパス / Demazure加群 / 量子alcove模型 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
\mathfrak{g} を複素数体上の有限次元単純リー代数とする．\mathfrak{g}_{af} を \mathfrak{g} に付随した（捻じれのない）アフィン・リー代数とし，W_{af} をアフィン・ワイル群とする．\mathfrak{g} の優整ウェイト \lambda に対して，V(\lambda) を量子アフィン代数 U_{q}(\mathfrak{g}_{af}) 上のレベル・ゼロのエクストリーマル・ウェイト(EW)加群とする．W_{af} の元 x に対して V_{x}(\lambda) を V(\lambda) における Demazure 加群とする．このとき，V_{x}(\lambda) の次数付き指標 gch V_{x}(\lambda) が自然に定まる．
2021年度（令和3年度）は，C.Lenart氏, 内藤聡氏, D.Orr氏との共同研究 (arXiv:2111.00628) で，\mathfrak{g} が simply-laced のとき，一般の整ウェイト \mu についての Monk 型の展開公式，すなわち，e^{\mu}gch V_{x}(\lambda) を gch V_{y}(\nu) (y \in W_{af}, \nu は整ウェイト) たちの \mathbb{Z}[q^{\pm 1}] の元を係数とする線形結合に展開する公式を証明した．この Monk 型の公式により，一般の整ウェイト \mu と W_{af} の元 x に対して，K_{T \times \mathbb{C}^{\ast}}(\mathbf{Q}_{G}) における積 e^{\mu} \cdot [\mathcal{O}_{\mathbf{Q}_G(x)}]の組み合わせ論的な展開公式が得られた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2020年度（令和2年度）に，\mathfrak{g} が simply-laced で，\mu が minuscule ウェイトである場合に，Monk 型の展開公式を得ていた．「研究実績の概要」で述べたとおり，2021年度（令和3年度）には，この Monk 型の展開公式を，\mu が一般の整ウェイトの場合に拡張することができた．加えて，\varpi_{i} が基本ウェイトで，\lambda = N\varpi_{i} (N は正の整数) かつ \mu = \varpi_{i} の場合の，gch V_{x}(\lambda+\mu) に対する放物型の Pieri-Chevalley 型の公式に関する研究も進めている；2021年度には \varpi_{i} が munuscule の場合の研究成果を論文にまとめた (arXiv:2109.11596)．これらについては，当初の研究計画にはなかったが，当研究とも密接に関連した研究成果であり，当研究への応用も十分に期待できる．
以上の理由により，上記の評価とする．
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| Strategy for Future Research Activity |
申請書の計画にそって研究を進める．特に，[\mathcal{O}_{\mathbf{Q}_{G}(x)}] \otimes [\mathcal{O}_{\mathbf{Q}_{G}(y)}] (x,y \in W_{af}) の展開公式についての研究を進める．現時点で，\mathfrak{g} が A 型であり，x \in W_{fin} が特別な巡回置換，y \in W_{fin} の場合には，当研究ですでに得られている各展開公式を応用して計算できることが分かっている．2022年度はこの計算を (Sage を用いるなどして) 進め，展開公式の予想をたてた後，証明を行う．
ところで，Monk型の公式については，現時点では，\mathfrak{g} が simply-laced の場合にしかできていない．上述のような応用のためには，一般の \mathfrak{g} についても公式が欲しいところである．2022年度も引き続き Monk 型の公式についての研究も行いたいと考えている．
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| Causes of Carryover |
2021年度はコロナ禍のため，研究打ち合わせのための出張がまったくできなかった．2022年度に出張ができるような状況になれば，次年度使用額を充てる予定である．
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