2022 Fiscal Year Research-status Report
EW加群におけるDemazure加群の半無限LSパスを用いた研究と幾何的応用
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19K03415
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40344866)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / 結晶基底 / エクストリーマル・ウェイト加群 / 半無限LSパス / 量子LSパス / Demazure加群 / 量子alcove模型 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
\mathfrak{g} を A_{n} 型の有限次元単純リー代数とする. すなわち, \mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_{n+1} (n+1 次の特殊線形リー代数) であり, そのワイル群は n+1 次対称群 S_{n+1} と同型である. Cristian Lenart と前野俊昭 (2006) は, A_{n} 型の旗多様体 Fl_{n+1} の量子K-群 QK(Fl_{n+1}) について，多項式環の剰余環としての具体的な記述を与えた. さらに, この記述のもとで, 量子 Grothendieck 多項式が Schubert 多様体の構造層のクラス (\in QK(Fl_{n+1}) を代表することを予想した. この予想は, Lenart 氏, 内藤聡氏との共同研究 (arXiv:2010.06143) において, すでに証明している.
さらに, Lenart と前野は, 同論文において，ある巡回置換に対応する量子 Grothendieck 多項式と, 一般の元に対応する量子 Grothendieck 多項式の積を, 量子 Grothendieck 多項式の線形結合で展開する (Pieri 鎖を用いた) 組み合わせ論的な公式を予想した. 2022年度は, 内藤聡氏との共同研究で, 長年未解決だったこの予想を肯定的に解決した. これらの研究成果は, 申請書類の「研究目的」における「(3) 本研究で何をどのように, どこまで明らかにしようとするのか」に (v) として記載した課題に対する完全な解答であり, 当研究において非常に重要な進展である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2022年度までの研究成果により, 「(3) 本研究で何をどのように, どこまで明らかにしようとするのか」に記載した課題 (i) ～ (v) のうち，後述の (iii) 以外は解決したことになる. また, (v) の解決は (iii) の解決への手がかりにもなる. コロナ禍の影響による遅れはあるものの, 順調に研究が進んでいる.
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| Strategy for Future Research Activity |
\mathfrak{g} を一般の有限次元単純リー代数とし, W をそのワイル群とする. W_{\mathrm{af}} を対応するアフィン・ワイル群とし, 半無限 Bruhat 順序に関して単位元以上であるようなアフィン・ワイル群の元全体の集合を W_{\mathrm{af}}^{\ge 0} とする. x \in W_{\mathrm{af}}^{\ge 0} に対して, \mathcal{O}_{\mathbf{Q}_{G}}(x) を対応する半無限 Schubert 多様体とし, [\mathcal{O}_{\mathbf{Q}_{G}}(x)] をその構造層のクラスとする. 2023年度は残っている次の課題 (iii) に取り組む. すなわち, 一般の x,y \in W_{af} に対して, 積 [\mathcal{O}_{\mathbf{Q}_{G}}(x)] \otimes [\mathcal{O}_{\mathbf{Q}_{G}}(y)] が定義されることを確認し, その展開公式を組み合わせ論的かつ明示的に与える.
2022年度に解決した (v) は, この課題の特別な場合である; \mathfrak{g} が A_{n} 型で, かつ, x が巡回置換 (p,p+1,....,k-1,k) (1 \le p < k \le n+1) の場合. 2022年度の結果を手がかりにして, より一般の場合の公式の導出を目指す. また, 必要に応じて Sage などのソフトウェアを用いた具体例の計算も行う.
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| Causes of Carryover |
2022年度はコロナ禍と数学類長 (学科長) の仕事が多忙であったため，研究打ち合わせ等のための出張がまったくできなかった．2023年度は研究打ち合わせ等のための出張に加えて，研究期間を延長したことで新たに必要となった物品を購入する予定である．
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