2019 Fiscal Year Research-status Report
Dirichlet series in several variables associated to automorphic forms and their applications to special values of automorphic L-functions
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19K03419
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| Research Institution | Joetsu University of Education |
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Principal Investigator |
林田 秀一 上越教育大学, 大学院学校教育研究科, 准教授 (80597766)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 新谷二重ゼータ関数 / ケッヒャー・マース級数 / ワイル群多重ディリクレ級数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ディリクレ級数およびゼータ関数は整数論にとって重要な研究対象である。新谷卓郎は、二次形式に付随する２変数の級数を1975年頃に導入し、ジーゲルによる二次形式の類数に関連した漸近公式の精密化を得ている。新谷の二重ゼータ関数は、その後、多くの研究者により拡張され、また現在においても研究されている。
本研究では、該当の年度において、次数２のジーゲル保型形式に付随する、ある２変数ディリクレ級数を導入し、その解析接続、およびその２つの関数等式を得た。更に、その応用として、重さ半整数の保型形形式とディリクレ L-関数の Rankin-Selberg convolution の２変数関数としての解析接続および２つの関数等式を証明した。ここで、この２変数の Rankin-Selberg convolution とは、普通の１変数のディリクレ級数の Rankin-Selberg convolution の分子に、ディリクレ L-関数の変数が付随した形の２変数の関数である。これら、２変数の級数が満たす２つの関数等式は、新谷の二重ゼータ関数が満たす関数等式と類似性を持っている。後に、この次数２のジーゲル保型形式に付随する2変数ディリクレ級数は、実解析的アイゼンシュタイン級数付きのケッヒャー・マース級数と同じものであることが、佐藤文広氏により指摘され、また上記の結果は、荒川・佐藤・牧野による2001年の共著論文の結果に、暗に含まれていることも判明した。しかしながら、そのケッヒャー・マース級数と新谷二重ゼータ関数との類似性が得られたこと、および重さ半整数の保型形式に付随する、2変数 Rankin-Selberg convolution の解析的性質への応用が得られたことに意味がある。また、伊吹山・桂田による、Kohnen-Zagier 二変数ディリクレ級数の特別な場合の解析的性質、の拡張も得ている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では、ジーゲル保型形式に付随する多変数のディリクレ級数を導入し、解析的性質および、保型L-関数の特殊値への応用を得ることが目標である。該当年度においては、次数２のジーゲル保型形式に付随する2変数のディリクレ級数を調べ、複素2変数関数としての解析接続および2つの関数等式を得ている。特にそのジーゲル保型形式が斎藤・黒川リフトである場合は、重さ半整数の保型形式と、ディリクレ L-関数の Rankin-Selberg convolution が得られ、その２変数関数としての解析接続と２つの関数等式を得ている。この手法を多変数のジーゲル保型形式に応用した場合に、多くの関数等式をもつ多変数ディリクレ級数が得られることを示唆している。また部分的に、次数2のジーゲル保型形式に付随する2変数ディリクレ級数と、Kohnen-Zagier 2変数ディリクレ級数との関連も示すことができている。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の目標の一つは、楕円保型形式に付随する Kohnen-Zagier の二変数ディリクレ級数の解析性質を得る事である。次数2のジーゲル保型形式に付随する2変数ディリクレ級数とこの Kohnen-Zaiger の2変数ディリクレ関数との関連を今後さらに調べていく。また、保型 L-関数の特殊値の漸近式に関するゴールドフェルト・ヴィオラ予想と、レベル付の志村対応との関連（坂田裕氏との共同研究）を調べ、また、ジーゲル保型形式に付随する二変数ディリクレ級数の多変数への一般化および、その解析的性質や Rankin-Selberg convolution との関連をしらべていく。
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| Causes of Carryover |
海外出張での相手側からの旅費の補助等もあり、予定していた使用額とはなっていない。研究を遂行するために必要な図書や、数値計算に必要なソフトウェア等、今後も購入していく。
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