2021 Fiscal Year Research-status Report
Dirichlet series in several variables associated to automorphic forms and their applications to special values of automorphic L-functions
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19K03419
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| Research Institution | Joetsu University of Education |
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Principal Investigator |
林田 秀一 上越教育大学, 大学院学校教育研究科, 教授 (80597766)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 多変数のディリクレ級数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
次数２のジーゲル保型形式に付随する二変数のあるディリクレ級数(ケッヒャー・マース型級数の一般化)の解析接続、関数等式は、これまで知られている量指標付きケッヒャー・マース型級数(荒川・牧野・佐藤の論文による) を用いて示すことができる。少なくとも２つの関数等式を持ち、また一つの変数での極が、量指標のつかないケッヒャー・マース型級数となることが分かる。これらは、新谷により導入された2変数のディリクレ級数と同様の性質を持っている。クリンゲン型アイゼンシュタイン級数は、ジーゲル保型形式の一種であり、他の二変数ディリクレ級数との一致を調べるために、次数２のクリンゲン型アイゼンシュタイン級数に付随するこの二変数ディリクレ級数の明示公式を得ることを目標にしている。クリンゲン型アイゼンシュタイン級数のフーリエ係数の明示式については、水本およびベッヘラーの結果があるが、テータ級数で捻ったL関数の特殊値を明示式に用いており、これを用いて二変数ディリクレ級数の明示式を得るのは困難である。そこで別の方法を現在模索している。それに関連して、ジーゲル保型形式のフーリエ係数を用いて、計算機により、クリンゲン型アイゼンシュタイン級数の pull-back の形を、重さが低いところで、具体的に求めた。特にクリンゲン型アイゼンシュタイン級数の原像の次元が２以上のところでの例を計算しており、係数に現れる有理数の分母に、興味深い現象も見られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
アンドリアノフの示した、次数２のジーゲル保型形式に付随するある種のディリクレ級数の明示公式の、量指標付きでの一般化がうまくいっていない。ちなみにこの楕円保型形式の場合の明示公式は簡単に示せ、楕円保型形式のスタンダード型エル関数が現れる。クリンゲン型アイゼンシュタイン級数の pull-back については、具体例を求めたが、一般の重さでのクリンゲン型アイゼンシュタイン級数の pull-back の明示式を求めることは現在まで至っていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
多変数のジーゲル保型形式の場合で他変数ディリクレ級数の解析的性質を調べる。特に関数等式について調べる。また、概均質ベクトル空間に付随するゼータ関数やワイル群多重ディリクレ級数などの多変数ディリクレ級数などの文献を調べる。ジーゲル・アイゼンシュタイン級数の場合に pull-back の形がどうなるかは、ギャレット、ベッヘラーや小島らの結果があり、それらはある種の対称性を満たす。クリンゲン型アイゼンシュタイン級数の場合の pull-back の場合にはこの対称性を満たさないことは簡単に分かるが、明示式は完全には分かっておらず、部分的にはハイムやアロックなどにより知られており、これらの結果が使えないか精査する。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた主な理由は、出張が制限された事による。今後の使用計画としては、「ジーゲル保型形式およびヤコビ形式」、「多変数ディリクレ級数」 をテーマとした国際研究集会を開き、国内外の研究者との情報交換を進め、研究を行なっていく。
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