Dirichlet series in several variables associated to automorphic forms and their applications to special values of automorphic L-functions

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03419
• Research Institution: Joetsu University of Education
• Principal Investigator: 林田 秀一 上越教育大学, 大学院学校教育研究科, 教授 (80597766)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 多変数ディリクレ級数

Outline of Annual Research Achievements

整数論において保型形式は重要な研究対象であり、特にそのL関数やディリクレ級数の研究が盛んに行われている。多変数の保型形式の一種であるジーゲル保型形式は、現在も様々な研究が国際的に行われており、特にその基本的な場合である次数２のジーゲル保型形式においても、1960年代から具体的な構造の研究が行われているが、いまだ活発に研究が進められている。
本研究では、次数2のジーゲル保型形式に付随する2変数のディリクレ級数について引き続き考察を行った。ジーゲル保型形式のフーリエ係数を用いて構成される2変数のある種のディリクレ級数は、T.Shintani により導入された２変数のディリクレ級数の保型形式版と考えることもでき、その解析的な性質については、T.Arakawa-I.Makino-F.Sato により解析的性質が知られており、その関数等式もいくつか求められている。本研究においては、この２変数のディリクレ級数の具体的表示を得ることを目的としており、それにより新たな関数等式やワイル群多重ディリクレ級数との関係を導き出すことを目標の一つとしている。新谷の2変数関数は実2次体の類数が満たす漸近式評価に用いられており、これの一般化やワイル群多重ディリクレ級数の具体例を記述することは意義があると思われる。
いくつかの関連する先行研究を精読し考察する中で、楕円保型形式、すなわち一変数の保型形式で重さが整数でさらにフルモジュラーに付随するものから、新しい形の2変数のディリクレ級数を導入し、その級数と他のディリクレ級数との関連を調査している。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

次数２のジーゲル保型形式に付随する2変数のディリクレ級数の具体的表示を求めることを目標としているが、関連する先行研究を調べることに時間がかかっている。本年度に H.Katsurada-H.Kim による Duke-Imamoglu-池田リフトに付随するランキン・セルバーグ畳み込みのディリクレ級数の具体的表示の論文がプレプリントにより発表されており、そちらとの関連も調べている。特に、Duke-Imamoglu-池田リフトのフーリエ係数の変形が巧みに用いられており、本研究においても参考になると思われる。また一方で、W.Kohnen-D.Zagier により導入された一変数保型形式に付随する2変数のディリクレ級数との関連から、新たな2変数のディリクレ級数を導入し、その具体的な積表示を求めた。コーネン・ザギエの2変数ディリクレ級数にも現れるような、奇妙なオイラー因子の部分が現れており、2つの2変数ディリクレ級数との直接的な関係式を調査中である。

Strategy for Future Research Activity

一変数保型形式に付随する新しく導入した2変数のディリクレ級数が、解析接続を持つのかどうかも不明であるので、解析接続を持たない場合も視野に入れて、自然境界をもつ既知のディリクレ級数などの先行結果を調べたい。また、コーネン・ザギエのディリクレ級数や T.Shintani の2変数ディリクレ級数などは現在でも参考文献としてよく引用されており、結果が拡張されてきているので関連研究を調べる。これまでは、特にT.Ibukiyama-H.Katsurada による ケッヒャー・マース型ディリクレ級数の具体的表示の結果を主に参考にしてきたが、ワイル群多重ディリクレ級数やルート系に付随する多変数版のディリクレ級数、２重ディリクレ級数の逆定理など、2次形式ないしは保型形式に付随する多変数のディリクレ級数やL-関数に関係する研究は数多くあるので、これらの中に本研究の２変数ディリクレ級数の具体的表示に結びつく情報がないか調べていきたい。

Causes of Carryover

出張や研究集会の開催を控えていたため、次年度使用額が生じたが、出張などを可能な範囲で積極的に行っていきたい。また本研究に関連する書籍を購入していく。