2019 Fiscal Year Research-status Report
スーパー量子群がつなぐ2次元共形場理論と1次元ハバード模型
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19K03421
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
松本 拓也 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 博士研究員 (50748803)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 2次元共形場理論 / 自由場表示 / ジャック多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度は前年度に引き続き、正の有理レベルにおける拡大W代数に関する研究を行った。これは2次元共形場理論におけるヴィラソロ代数を部分代数として含む無限次元代数であり、その加群は、いわゆるBPZ(Belavin-Polyakov-Zamolodchikov)のヴィラソロミニマル模型の半単純でない表現への拡張になっている。とくにBPZの状態空間がスクリーニング作用素によって定まるFelder複体の0-th cohomologyとして定義されるのの対し、拡大W代数のそれはスクリーニング作用素の核全体として定義される。
拡大W代数の中心電荷は、ヴィラソロミニマル模型のそれと同じであり、これを正の有理レベルと呼ぶ。この時、拡大代数W代数の表現は、ヴィラソロ代数の表現として、加算無限個の最高ウエイト表現に分解し、それぞれのヴィラソロ部分加群の特異ベクトルは、スクリーニング作用素の像として表現される。
これまでの先行研究[Mimachi-Yamada(Comm. Math. Phys.Volume 174, Number 2 (1995), 447-455.), Tsuchiya-Wood(arXiv:1302.6435 [math.QA])]から、これらの特異ベクトルの具体的表示は自由場表示によって1変数を含むジャック多項式によって与えられる事が知られていたが、それに対応する場の演算子の様子は明らかではなかった。本年度は、この点について研究を行い、具体的な明示式を得た。この結果は、2020年2月15日(土)～2020年2月18日(火)に富山大学理学部で開催された研究会“The 2nd Meeting for Study of Number theory, Hopf algebras and related topics”において口頭発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究計画全体から見ると、本年度の進捗状況はやや遅れていると考えている。このプロジェクトの目的は、2次元共形場理論と1次元ハバード模型の関係を、両者の対称性として現れると期待される量子群の観点から明らかにすることであるが、まだその量子群対称性の同定には至っていない。これは、２つの変形パラメータを持ち、かつそれらが1の冪根であるような量子群であると期待される。さらに、いわゆるLusztigの「大きな量子群」に拡大すると予想される。
本年度の研究動機は、この「大きな量子群」に本質的である演算子（これを「フロベニウス演算子」と呼んでいる）を具体的に構成するための足掛かりを得るためであり、特異ベクトルの場の演算子としての表式を得たことは、その副産物であると自己評価している。
今年度の方針としては、「フロベニウス演算子」をジャック多項式から直接定義することを目指していたが、この方法は代数的計算が有効である一方、ヴィラソロ代数との可換性が非自明になってしまう問題点がある。それを解決するには、フロベニウス演算子の定義するサイクル（積分路）を具体的に構成することが本質的である。もっとも基本的なスクリーニング作用素を定義する積分のサイクルは、[Tuchiya-Kanie (Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, 1986, 22 巻, 2 号, p. 259-327)]によって捻じれde Rham理論の枠組みで構成されているが、正の有理レベルに対し、そのまま用いることは出来ない。そこで我々の問題に関しては、この理論を離散変数環上に持ち上げることで、ある種の正則化を行う必要なある。
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| Strategy for Future Research Activity |
目下の課題としては、拡大W代数の加群に作用するLusztigの「大きな量子群」、特にそれに特徴的な「フロベニウス演算子」を構成することにある。その方策として、捻じれde Raham理論を用いる。この理論は、多価正則関数に対してストークスの定理な自然に成り立つような理論的枠組みであり、超幾何関数の定式化に極めて有効である（例えば、青本和彦、喜多通武著「超幾何関数論」シュプリンガー現代数学シリーズ、参照）。共形場理論におけるスクリーニング作用素は、場の作用素であるスクリーニングカレントのゼロモードとして定まるが、スクリーニングカレント自身は演算子に値を持つある種の超幾何関数と考えることで、捻じれde Rham理論の枠組みでより自然な形で定義できると考えている。
従って、これからの目標は、スクリーニングカレントを捻じれde Rham理論の立場から、超幾何関数として捉えること。それを、離散変数上で展開すること。さらに、複素数体上への極限として、サイクルの退化・変形を観察し、フロベニウス演算子に対する積分路を具体的に確定すること。などが研究方針である。
2次元共形場理論の代数的定式化としては、頂点作用素代数が知られているが、この理論においては、場の演算子積展開において一価関数であるような場のみが扱われる。この性質を場が「互いに局所的」という。従って、演算子積に展開に多価性が現れるような一般の場を、頂点作用素代数の枠組みで直接扱うことは、難しいように思われる。しかし、その多価性を捻じれde Rham理論の中で積分してしまえば、結果としては互いに局所的な場が出現する。スクリーニングカレントは、その一例である。よって、捻じれde Rham理論を用いることで、頂点作用素代数を含む、より一般的な2次元共形場理論の定式化が得られる可能性があることしたいしている。
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| Causes of Carryover |
今年度は、教育等のために多くの時間を割くとことにあり、いくつかの研究会への参加や共同研究者との議論等を見送らざるを得ない状況にあったため、当初の予算を執行することが困難であった。
次年度は、遠隔でのセミナーや議論等の機会が増えることの予想され、新しいPC等の購入を検討している。
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