2021 Fiscal Year Research-status Report
スーパー量子群がつなぐ2次元共形場理論と1次元ハバード模型
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19K03421
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| Research Institution | University of Fukui |
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Principal Investigator |
松本 拓也 福井大学, 学術研究院工学系部門, 准教授 (50748803)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ２次元共形場理論 / 拡大W代数 / 自由場表示 / ジャック多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、２次元共形場理論におけるスクリーニング作用素の性質について、昨年度に引き続いて研究を行った。スクリーニング作用素はビラソロ代数の生成子と可換な演算子であり、ビラソロ加群における特異ベクトルの構成において重要な役割を果たす。
Feigin-Fuchsらのビラソロ表現論の結果から、Felderはスクリーニング作用素の合成がゼロ写像になること、すなわち冪零性を見抜き、ビラソロミニマル系列と呼ばれる良い表現空間をスクリーニング作用素によって定まるコホモロジーの空間として特徴づけた。
一方、スクリーニング作用素自身は、自由ボゾンによる自由場表示と冪和対称関数との対応によって、ジャック対称多項式と同一視することが出来る。
このような状況を受けて、スクリーニング作用素の冪零性を、表現論の結果とは独立に、ジャック多項式の観点から直接導くことは可能か？という問いを立てた。これは、拡大W代数を対称性に持つ2次元共形場理論を、対称関数の観点からアプローチする上でも重要な視点であると考えている。
結果として、L0固有値の小さいものに関しては、ジャック多項式の性質のみを用いて、スクリーニング作用素の冪零性を具体的に確認する事ができた。一般の場合の証明については、現在に研究を継続中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度は、異動後一年目という事もあり、教育・運営等の業務により、研究に十分なエフォートを割くことが出来なかったため、当初の予定ほど、研究を進めることが出来なかった。しかしながら、具体的な計算については細かな進展があり、その点では前進があったと考えている。
本年度の課題としては、ビラソロスクリーニング作用素の冪零性を、自由ボソンを用いて具体的に証明することであった。スクリーニング作用素は、ジャック多項式をラベルするヤング図に関する足し上げとして記述することが出来る。特別な場合として、フォック加群の最高ウエイトベクトルのスクリーニング作用素による像は、三町-山田の結果から、長方形のヤング図に対応するジャック多項式で記述できることが知られている。冪零性を確認するには、フォック加群の任意の重みのベクトルに関するスクリーニング作用素の像を求め、それらまたスクリーニング作用素の核に入ることを確認する必要がある。
この問題の困難な点としては、ビラソロ加群の最高ウエイトベクトルからの重みが大きくなるに伴い、計算が著しく煩雑になるという点が挙げられる。ジャック対称多項式の文脈では、多項式をラベル付けするヤング図のウエイトが大きくなると、それを明示的に扱うことは難しい。この問題点を解決し、一般の場合での証明への道筋を見つけるため、現在では、計算機実験も併用しながら、具体例を検証している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の方針としては、やはりジャック多項式とスクリーニング作用素の冪零性の直接証明が重要であると考えている。その先には、Lusztigの大きな量子群をスクリーニング作用素を生成子として具体的に構成したい、という目標がある。
関連して、スクリーニング作用素がビラソロ生成子と交換するという事実は、スクリーニング作用素の積分表示に依拠している。この積分表示は捻じれたド・ラーム理論の枠組みで定式化され、そのサイクルは土屋・蟹江によって具体的に構成された。積分理論は共形場理論において重要な地位を占めているが、やはりジャック多項式の言葉で、明示的に可換性を示すことも、積分理論と相補的な関係にあり、重要な問題であると考える。
以上の2点、すなわちスクリーニング作用素の冪零性とビラソロ生成子との可換性について、ジャック多項式の立場から、明確な答えを出したいというのが、今後の研究方針である。
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| Causes of Carryover |
国内外の多くの学会・研究集会等が、オンラインに変更になったため、旅費として予定していた額を使い切ることが出来なかったことによる。本年度は、研究推進のための計算機の購入や、所属研究機関での関連する研究集会等の費用として、活用する予定である。
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