2022 Fiscal Year Research-status Report
スーパー量子群がつなぐ2次元共形場理論と1次元ハバード模型
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19K03421
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| Research Institution | University of Fukui |
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Principal Investigator |
松本 拓也 福井大学, 学術研究院工学系部門, 准教授 (50748803)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | リースーパー代数 / 量子群 / ヤンギアン代数 / Drinfeld実現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、中心拡大されたリースーパー代数sl(2|2)に付随した無限次元量子群であるヤンギアン代数を中心に研究を行った。この拡大されたsl(2|2)代数は、超弦理論におけるゲージ/重力対応や統計物理学における１次元ハバード模型の対称性として現れるなど、物理的にも重要な代数である。一方、数学的にもリースーパー代数sl(2|2)は、キリング形式が退化していること、また2次元の中心拡大を許す唯一の半単純リースーパー代数であることなど特殊な性質を有しており、一般論を素朴に適応できず、数学的に例外的な扱いが必要となる。
目標としては、拡大されたsl(2|2)代数に付随するヤンギアン代数の表現論を展開することである。一般に、ヤンギアン代数の表現を調べる上では、Drinfeld実現と呼ばれる定義関係式を用いることが適切である。しかしながら、Drinfeld実現では、量子群のHopf代数としての構造、特に余積の構造が明白でないという問題がある。
そこで、まずは明白な余積をもつDrinfeld実現を構成した。その結果は、論文"Drinfeld realization of the centrally extended psl(2|2) Yangian algebra with the manifest coproducts"[https://arxiv.org/abs/2208.11889]にまとめ、Journal of Mathematical Physics (JMP)に2022/09/07に投稿、 2023/04/07に受理された[J. Math. Phys. 64, 041704 (2023)]。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、sl(2|2)い関するヤンギアン代数の結果を論文にまとめることが出来た点において、研究を進展させることが出来た。この代数は、１次元ハバード模型の持つ無限次元対称性であり、今後、表現論を展開する上で重要なステップである。
一方で、2次元共形場理論との関連は、あまり進展がなかった。この点は、来年度以降の課題である。
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| Strategy for Future Research Activity |
次は、論文[J. Math. Phys. 64, 041704 (2023)]で定義したヤンギアン代数のPBW型基底を決定し、表現論を展開することである。これは、統計物理における無限長の１次元ハバード模型や弦理論におけるゲージ/重力対応の数理的構造の解明に寄与することが期待される。
関連して、リースーパー代数のBGG型の分解は、通常のリー代数の研究に比べあまり調べられていない。リースーパー代数の表現を解析する上では、リー代数の場合のワイル群に代わる構造として、ワイル亜群が知られている。sl(2|2)やその他の低ランクのリースーパー代数に関して、ワイル亜群とBGG分解との関連を明らかにすることは、数学的に重要な問題と考えられる。これは、今後の課題であり、共同研究をとして進行中である。
並行して、ヴィラソロ代数の自由場表示を用いた2次元共形場理論の研究も行う予定である。
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| Causes of Carryover |
国内外の多くの学会・研究集会等が、オンラインに変更になったため、旅費として予定していた額を使い切ることが出来なかったことによる。本年度は、関連する研究集会への参加費用、またセミナー講演者等の招聘費用として活用する予定である。
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