2021 Fiscal Year Research-status Report
moduli space of connections and the generalized isomonodromic deformation
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19K03422
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
稲場 道明 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80359934)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | モジュライ / 接続 / 一般モノドロミー保存変形 / 不確定特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数曲線上で、確定または不確定特異点を許した代数的接続のモジュライ空間に関する研究をしている。このモジュライ空間の上に、シンプレクティック形式を構成することができる。一方、接続にモノドロミー・ストークスデータが対応することから、このモジュライ空間の上に、一般モノドロミー保存変形と呼ばれる代数的微分方程式を構成することができる。特に分岐不確定特異点を許した場合に、これらの構成を行ったことが、主な研究業績である。
代数曲線上の代数的接続のモジュライ空間についての研究は、Simpsonによる非可換ホッジ理論の枠組みの中で重要な位置を占めていた。その後、確定または不確定特異点を許した場合に理論が拡張されていった。ただ、分岐不確定特異点を許す場合は、モジュライ空間の構成が難しく、BremerとSageによる、射影直線上の自明束の上での分岐接続のモジュライ空間の構成にとどまっていた。当該研究者自身によって、一般種数の代数曲線上で分岐不確定特異接続のモジュライ空間を構成がなされ、期待される様々な結果を生み出すことに成功した。特に最近、分岐接続に対する分解構造という概念を導入し、モジュライ空間上のシンプレクティック形式の記述を精密化することができた。
一方、神保・三輪・上野の理論により、不分岐不確定特異接続のストークスデータを保存する変形が、接続の族をトータルな有理型可積分接続へ拡張できることと等価であることが知られている。これの局所版を考えて分岐不確定接続の場合に拡張し、一般モノドロミー保存変形をモジュライ空間の族の上に大域的に構成することに繋げた。
Biswas氏、光明氏、齋藤氏との共同研究では、放物接続のモジュライ空間がアフィンでないことを示す結果が出せた。これの系として、接続のモジュライ空間から対応するモノドロミー表現の空間へのリーマン・ヒルベルト射が代数的ではないことが従う。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Biswas氏、光明氏、齋藤氏との共同研究を短く概要にまとめた論文は、既にComptes Rendus Mathematiqueに掲載されている。オリジナルの論文については、接続のモジュライ空間のある部分の余次元評価に関する議論の証明が長大となり、完成に時間がかかっている。ただ、何度か証明チェックをして修正を繰り返すことにより、理論を大幅に洗練化することができてきた。また、論理の流れが見やすいように原稿の整理もできてきたので、完成に近づきつつある状態になってきたと言える。
分岐接続のモジュライ空間を構成した論文は、出版準備に時間がかかっているようではあるが、既にAsian Journal of Mathematicsに受理されている。
これを発展させる形で、分岐不確定接続に分解構造という概念を導入し、これを用いてシンプレクティック構造の記述を精密にした。また、対応するストークスデータの考察と共に、一般モノドロミー保存変形をモジュライ空間上に大域的に構成した。これらをまとめた論文を完成させてarXivに載せ、現在投稿中である。
今年度もコロナ禍によって、出張に行ける機会は皆無で、対面研究集会への参加も全くできなかった。しかし、zoomによるいくつかの研究集会において、上記の論文に関する講演を何度かする機会を得ることができ、多くの研究者と意見交換する機会にも恵まれた。
一方、光明氏とzoomによる研究打ち合わせを繰り返すことにより、射影直線上階数が2で極因子の次数が4の場合の接続のモジュライ空間のコンパクト化を目指す共同研究を始めている。まだ完成には程遠いが、モジュライに現れる具体的な対象はほぼ書き下せる状況なので、結果を出すことには希望的な状況である。
以上より、概ね研究は順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
Biswas氏、光明氏、齋藤氏と共同で研究してきた、frame付接続のモジュライ空間上のシンプレクティック形式と、大域代数関数に関する論文を、完成に向ける予定である。接続のモジュライ空間がアフィンでないことを示すために、モジュライ空間上の大域代数関数のなす環の超越次数の評価を与えるという、より精密な結果を出せる方針となった。これを示す際に、下部構造である放物ベクトル束が非自明な自己同型をもつ部分の余次元の評価が本質的となる。実はこの余次元評価の証明が長大となっているのだが、現在では証明が見やすいように原稿を整理できてきたため、再度の証明チェックを押し通すことにより、論文の本質的完成は比較的容易だと考えている。また、共著者たちの見識を適切に言い表せるような序文の書き方も重要となりそうである。
一方、光明氏との共同研究では、射影直線上で階数２、極因子の次数が４の場合の分岐接続のモジュライ空間のコンパクト化の記述を目指している。研究を進めるアイデアのもととなっているのは、確定特異点の場合の接続のモジュライ空間のコンパクト化として、パンルべ第6方程式の場合の岡本・パンルべ対（または坂井曲面）を構成した研究がある。そして、これを不分岐不確定特異接続の場合に発展させた宮崎氏の研究結果があった。これと、分岐不確定接続のモジュライ空間の構成をしたアイデアをもとに研究を進める予定である。既存の論法を推し進めれば、コンパクト化の境界に現れる対象を具体的に記述することができる。これを概念的に書き直す必要があるが、私のアイデアだけでなく、光明氏も独自にアイデアを出してきており、お互いの手法を組み合させて結果に結び付けたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
今年度もコロナ禍が続いて国内研究集会もすべてオンラインとなり、海外への出張も不可能だったため、出張旅費のために使うことは全くできなかった。ただ、zoomによる研究集会で自分の研究結果を発表することを通し、多くの研究者と意見交流をでた。またzoomによる研究打ち合わせの積み重ねで共同研究の論文作成も進み、相応の研究推進はできていたとは言える。
次年度は、ある程度コロナ禍の制約が程度緩んだとすれば、相応の出張旅費を使えると期待している。現実に、共同研究をしているBiswas教授からは、インドのTata研究所に来てもらうようにと打診されている。もし感染が抑えられていて、かつ出入国等の抑制が緩くなれば、期待に答えたいと考えており、その場合はかなりの海外出張旅費が見込まれる。
また、2022年度城崎代数幾何学シンポジウムの世話係の一人となり、開催方法は現在考慮中で見通しは立っていないが、こちらももし現地開催となれば、相応の助成金使用が見込まれる。
昨今電子書籍の普及が進んで便利になっている一方で、研究推進上で重要となりそうな書籍は厳選して現物の書籍購入を進めていく予定でおり、そのための一定の助成金を使用する見込みである。
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