2020 Fiscal Year Research-status Report
Siegel modular forms and algebraic modular forms
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19K03424
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
伊吹山 知義 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (60011722)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | pullback formula / 微分作用素 / アイゼンシュタイン級数 / 特殊多項式 / 超特異アーベル多様体 / ４元数的エルミート群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
次の２点について、研究を行った。（１）主偏極を持つ２，３次元の超特異アーベル多様体のモジュライ空間の構造について、与えられた a-number (a=1,2,3) を持つ部分が各既約成分にどのように分布しているかを記述する方法が４元数的エルミート群のアデール化に含まれるパラホリック群の両側コセットの交差の状態で記述されることを論文にまとめて投稿した。（２）スカラーウェイトのアイゼンシュタイン級数に「領域の制限に対して保型性を保つ微分作用素」を作用させた後に２つの対角ブロックに制限したものを記述する公式を pullback 公式と呼ぶ。これはその係数に標準 L 函数の臨界値が出現するなど算術的に重要な情報を含んでいる。今回、行き先が任意のベクトル値のウェイトになるものに対して完全に具体的な新しい pullback 公式を与えた。それとは独立に、任意の定係数偏微分作用素を「スカラー値の保型因子への作用がもっとも単純なもの」に分解すると、Zagier との共同研究で得られていた高度球多項式の descending basis の理論と完全に対応することを今回証明した。この新しい特殊関数論の応用として、pullback 公式に必要な微分作用素を構成する公式を一般的に記述することができて、その具体的に指定された微分作用素と表現の内積に対して、完全に一般的な、ある意味で最終的な pullback 公式を得たことになる。論文は近日中に投稿予定である。この論文とは別に桂田英典らと Harder 予想の証明に関する共同研究の論文を執筆中である。対外活動としては、数理解析研究所の研究集会でリモート発表を行い、また各種のリモート集会に参加した。また一般の対称管状領域に対するノルムの巾の逆元に対し、収束域を精密にしたポアソン公式を与える論文を投稿してアクセプトされた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
パンデミック下で外国人研究者と直接的な微妙な打ち合わせができないので、パラモジュラー形式の次元やそれにまつわるヒルベルト保型形式の研究(Cris Poor 等との共同研究）、特殊多項式と微分方程式系の研究（D. Zagier との共同研究）、高次元の超特異アーベル多様体のモジュライについての研究（Chia-Fu Yu との共同研究）などの国際共同研究が全く進展していない。また国内他大学の林田秀二、青木宏樹と始める予定の、半整数ウェイトの具体的なリフティングの非消滅、およびレベル付き２次ヤコービ形式の構造についての２種類の共同研究も始められていない。その一方で、以前よりの桂田英典との Harder 予想に関する共同研究を契機として、昨年秋にジーゲル保型形式への微分作用素の理論の全面的な見直しを行い、これがザギエとの高度特殊球多項式についての共同研究の本質部分に対する、非常に自然なよい解釈を与えることを発見し、その結果、アイゼンシュタイン級数の明示的 pullback 公式の最終形を得たことは、思いもよらない発展といえ、予定以上に非常に満足できる結果になったと思う。かなり進歩した部分と遅れている部分が分かれてしまったが、全体としては、まあまあ順調と言えるのではないかと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
今回得たアイゼンシュタイン級数の pullback 公式は、正則アイゼンシュタイン級数に対するものである。一方パラメーター付きの実解析的アイゼンシュタイン級数の pullback 公式はベクトルウェイト一般のジーゲルカスプ形式の標準 L 函数の函数等式を示すために欠くことができない理論であるが、この場合に我々の理論を拡張できるかどうか、現在よくわかっていない。正則な場合と同じ発想はそのままでは通用しないように思われるが、この方向を深く探求したいと考えている。実際の状況がどうなっているかは、多くの実例で実験的に確かめられると思われるので、まず数式実験から始める予定である。そのため計算機環境を一層整備したい。それ以外に、できれば前述した研究の遅れている部分を取り戻したいと考えているが、リモートではなかなか難しい面があり、パンデミックの収束を待つしかない部分もある。なるべく早い時期に国内外の訪問または国内外の研究者の招聘ができるとよいのだが。また、申請者が８０年代から提案していた代数的保型形式とパラモジュラー形式の対応関係は、van Hoften および Weissauer-Roesner により、二通りの異なる証明がなされるという大きな進展があった。これに関連して、Weissauer は次数２のジーゲル保型形式でのレベル付きの志村型対応予想を申請者の予想の一般化として想定し、これと Harder 予想の関係を問題にしている。これが今回新たに得た pullback formula とどう絡まってくるかが検討課題である。すでに結果を得ているヤコービ形式の pullback 公式とその Harder 予想への応用や、レベル付きのヤコービ形式と半整数ウェイトジーゲル保型形式の関係などの論文執筆を進め、また超特異アーベル多様体と代数的保型形式についての本の執筆を継続する。
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| Causes of Carryover |
海外出張費用および国内出張費用を予定していたが、参加予定の集会が今回のパンデミックのために延期やリモート開催になったりしたので、使用できなかった。もしパンデミックが収束して可能になれば、是非とも国内外への出張、および国内外の研究者の招聘を行いたい。またリモート研究用および数式処理用の計算機関係の拡充に使用したい。このため、適当な新しい計算機を購入する予定である。またリモートな交流等のため、資料のデジタル化にも使用したい。
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