2020 Fiscal Year Research-status Report
New developments in the study of quantum groups
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19K03426
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
尾角 正人 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (70221843)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 量子群 / 超リー代数 / 結晶基底 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は昨年度同様２つの研究を行った。一つ目は境界付き1次元量子系の可解性を保証する反射方程式の解の研究である。2005年に研究代表者は東京大学の国場敦夫氏、神戸大学の山田泰彦氏とともに境界付きの箱玉系（ある種の超離散可積分系）を構成した。これは組合せ論的な反射方程式の解から作られるものであり、本質的に２種類の解を発見した。これらはA型量子群の対称テンソル表現の結晶基底と関係しており、qが0に行く極限をとる前の量子K行列が存在することが強く示唆された。これら２種類の解のうち１種類目については、一昨年前の国場氏、米山氏との研究でA型量子群のどのような余イデアル部分代数を考えればよいかが特定された。今年度は、依然不明であった２種類目について余イデアル部分代数を特定した。
二つ目は、量子アフィン（超）代数の表現論に関する研究である。６年ほど前に国場敦夫氏とともに、研究代表者は3次元系の可積分性に関わる四面体方程式の解をしかるべく簡約化することによって量子アフィン代数のq-振動子表現が自然に現れることを発見した。昨年度からはその研究をソウル国立大学の研究協力者 Jae-Hoon Kwon 氏とともに引き継ぎ、q-振動子表現をフュージョン構成法により高レベル化し、さらにその表現の結晶基底について研究した。コロナ禍のため研究交流が十分にできなかったが、今年度前半に論文を完成することができた。この研究は、より一般的な量子アフィン代数と量子アフィン超代数との双対性に関連しているので、次年度も研究を継続していく。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究課題の研究計画調書では主に３つの研究課題を記した。一つ目は「アフィン量子超代数の表現論、q-振動子表現、超双対性」である。これについては今年度に論文にまとめることができた。しかしこの課題は終了したわけではなく、さらに「一般化量子群の表現論」の研究へと発展させていく。研究課題「例外型KR加群の結晶基底の存在の問題およびX=M予想」についてはほとんど手つかずじまいに終わってしまった。一方で、新しく取り組んだ量子群の余イデアル部分代数（i量子群ともよばれている）については新しい知見を論文にまとめることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
完成させた量子アフィン（超）リー代数のq-振動子表現の研究を踏まえて、一般化量子群での超対称性をテーマに研究協力者Kwon氏との共同研究を継続していく。また、反射方程式と量子アフィン代数の余イデアル部分代数の研究課題については、専門家である学振特別研究員PDの渡邉英也氏が来年度研究グループに加わる予定なので、今年度得られた知見をもとに余イデアル部分代数の表現論を進展させる。最後に例外型KR加群の結晶基底の存在の問題についても関連する研究の動向に注意しつつ研究を継続する。
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| Causes of Carryover |
COVID-19のため、国内の研究協力者との研究打合せ旅費、国際研究集会参加のための海外旅費の使用が０円であったのが理由である。次年度分と合わせた研究費は、現在使用している古いデスクトップパソコンをオンラインでの研究交流に適したものに変えることと、移動制限が緩和された場合の国内・海外旅費のために使用する。また、COVID-19の状況によっては、令和3年度までの研究期間をさらに延長することを申請する。
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Research Products
(2 results)
