2021 Fiscal Year Research-status Report
Mordell-Weil Groups of elliptically-fibered Calabi-Yau manifolds
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19K03427
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
鍬田 政人 中央大学, 経済学部, 教授 (00343640)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 楕円ファイブレーション / Mordell-Weil群 / Calabi-Yau多様体 / K3曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究ではK3楕円曲面のMordell-Weil格子の理論を高次元楕円Calabi-Yau多様体，すなわち楕円曲線をファイバーとするファイバー空間の構造をもつCalabi-Yau多様体に拡張することが主目標の１つである．令和３年度はこのための試金石として，楕円ファイバー空間の構造を持つ３次元多様体のうちCalabi-Yau多様体ではなく有理多様体の場合について，そのModell-Weil群に格子の構造を付与してその構造を決定する問題に取り組んだ．３次元以上の楕円ファイバー空間では，その相対極小モデルを得る際に底空間もブローアップする必要がある．そのため，射影平面P^2を底空間としてWeierstrass方程式で定義される３次元楕円ファイバー空間であっても，その相対極小モデルの底空間はP^2ではなくなってしまう．Mordell-Weil群に格子の構造を与える双線形形式はその値を底空間のPicard群にとるので，まずはその構造を理解しないといけない．例えば，底空間がDel Pezzo曲面になる場合は底空間のPicard群が比較的簡単に記述でき，楕円曲面のMordell-Weil格子の理論が無理なく拡張できる．令和３年度はこの更なる拡張として，以前より研究していたレベル３構造を持つアーベル多様体のモジュライ空間の研究で現れる３次元楕円ファイバー空間について研究した．この楕円ファイバー空間は階数６のMordell-Weil群を持つが，その相対極小モデルの底空間は射影平面上の一般の位置にある9点でblowupして得られるHalphen曲面と呼ばれる曲面になる．この場合でも底空間のPicard群の記述が可能となり，結果としてMordell-Weil群にはE６型のルート格子と同型になることを証明し，もとのアーベル多様体のモジュライ空間の問題に役立てた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
令和３年度も新型コロナウイルス感染症の影響で移動が制限され，研究集会なども予定通り開催されず研究遂行の方針の変更を余儀なくされた．楕円曲線によるファイバー空間をもつ３次元多様体のModell-Weil群に格子の構造を与えることが出来るかという問題については，３次元楕円Calabi-Yau多様体の場合に取りかかる前段階の３次元有理多様体の場合で意義ある結果が得られたが，本研究のもう一つの柱であるWeil-Chatelet群の研究にについては足踏みをせざるを得なかった．ただ，これについてもHalphen曲面上の大域切断をもたない楕円曲面の構造の研究により，次年度以降さらに進んだ研究を行う端緒をつかんだ．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和４年度は，新型コロナウイルス感染症の影響による移動制限が緩和され，延期されていた国際研究集会なども開催される予定になっている．そこで，今年度はこのような国際研究集会にもできる限り参加し，ここ２年間に得られた結果を積極的に発表し，他の研究者との討論を通じて本研究をさらに深めていきたい．また，これまで直接話を聞くことが難しかった研究者の発表を聞いたりして本研究にかかわる多くの知見を得たいとも考えている．さらに，昨年度にはあまり手が付けられなかったWeil-Chatelet群の研究についてもできる限り進展を図りたい．
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| Causes of Carryover |
(理由) 新型コロナウイルス感染症の影響で，予定されていた国際研究集会が中止または延期にになり、その他の研究打合せも移動制限により行うことが困難であった。そのため予定していた旅費の出費が大幅に減った。
(使用計画) 令和４年度は，新型コロナウイルス感染症の影響で移動が制限が緩和され，延期されていた国際研究集会なども開催される予定になっている．そのため，今年度はこれまで２年間に得られた結果を積極的に発表するため、このような国際研究集会に進んで参加したい．また，引き続き具体例のデータの蓄積に注力したいので，そのための大規模な数式処理を行うコンピュータと最新の数式処理プログラムを必要に応じて導入することを検討している．
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Research Products
(2 results)
