2020 Fiscal Year Research-status Report
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19K03430
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Hilbert-Kunz 重複度 / pg イデアル / 強楕円型イデアル / 正規環元種数 / 有理特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は正標数の基本的な不変量であるヒルベルト・クンツ重複度に関する一連の研究を整理し，ヒルベルト・クンツ重複度を用いた正標数の正則局所環の特徴づけから始まる，重複度に対して極小なヒルベルト・クンツ重複度を持つ清純な局所環の構造に関する研究成果，渡辺・吉田予想に対する成果などを整理した。さらに，昨年度の主要な研究であるF指数に関する上限予想などを織り交ぜて多くの予想と共に，インドのオンラインセミナーで発表し，海外の若手研究者の今後の研究の指標を与えた。
一方，本研究者は渡辺敬一氏，奥間智弘氏らとpgイデアルの次に研究すべき対象として, 強楕円型イデアルの理論を生み出し，正規還元種数に関する興味深い例を提供することに成功した。実際，２次元の正規局所環において，べきがある程度まで整閉であるが，２つの正規還元種数が異なる例を初めて提供できたと考えている。また, この例は楕円型イデアルの特徴づけにおいて, ２つの正規還元種数が一致することが必要なことを示す例を提供するなど, 既存の理論を整閉イデアルの理論に移行する際には必ず考慮すべき問題であることが分かった。現在はさらに幾何的な考察を深めることにより, 同種の例を多く提供すべき努力をしているが, ある種の消滅定理の拡張が必要になることが明らかになり, 議論を深めるためには代数幾何学（特に，特異点論）からの準備が必要である。また，楕円型特異点を環論的に特徴づける方法への手がかりとして, 楕円型イデアルの理論を見出すことに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は研究集会に参加し，多くの人と議論をする機会には恵まれなかったが，20年前からの一連の研究成果を整理し, 発表することに恵まれ，若手研究者にも予想を提供することができた。また，代数幾何学（特に, 特異点論）の応用により, 計算が難しいイデアルのべきの整閉性についても多くの知見を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
正標数の研究については周辺の研究者の貢献を待ち，本研究者は整閉な強楕円型イデアルのcore を含む性質を詳しく研究したいと考えている。これは楕円型特異点をもつ Gorenstein 局所環の環論的アプローチなど未解決で魅力的な問題に取り組む予定である。
新型コロナ感染症の影響により研究集会が開催されず, オンラインでの開催のみになっている。そのため，研究内容が微妙に違う研究者との交流が行われていない。そのため，積極的に他分野の研究集会にも顔を出し，この点を補いたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染症拡大のため，緊急事態宣言が発令されるなどにより，予定していた研究集会・研究者セミナーへの参加がすべて見送られたため，旅費を使用することができなかった。
今年度もオンラインセミナーが企画されており，PCなどの使用頻度が高くなっている。特に，動画の保存などが必要なケースもあり，PC本体の新規購入，関連書籍の購入，バックアップ用やオンライン講演用の周辺機器の購入などを見込んでいる。また，年度後半に出張ができることを期待している。
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Research Products
(6 results)
