2022 Fiscal Year Research-status Report
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19K03430
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 幾何種数イデアル / 楕円型イデアル / 正規還元種数 / 正規正接錐 / Gorenstein |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者は，幾何種数イデアルを共に創設した共同研究者である渡辺敬一氏（日本大学文理学部，明治大学研究・知財戦略機構），奥間智弘氏（山形大学理学部）とイタリアの Rossi 教授の協力の下で，前年度までの研究において，楕円型イデアルを定義し，その特徴づけに成功した。我々が研究している２次元正規特異点においては，幾何種数イデアルや楕円型イデアルは「幾何的イデアル」であり，その性質はしばしば対応する特異点解消とアンチネフサイクルの言葉で特徴付けることができる。本研究は，これらの幾何的イデアルを分類するという観点から，「正規正接錐の Gorenstein 性」の研究にシフトしつつある。この研究においては，ベースになる環は Gorenstein と仮定するが，幾何種数イデアルの場合には「正規正接錐の Gorenstein 性」は good イデアルという別の幾何的イデアルと深く関連しているように思われる。実際，good な幾何種数イデアルは，正規正接錐が Gorenstein になる正規還元種数１のイデアルとして特徴付けられる。本年度の研究成果として，楕円型イデアルの場合に, 正規正接錐が Gorenstein になるための必要十分条件として，対応するサイクルのオイラー標数が零であるという条件を与えた。結果として, 幾何種数，または, 正規還元種数が２以下の Gorenstein 環の極大イデアルに関する正規正接錐がつねに Gorenstein になることを証明することができる。さらに, ある種の楕円特異点の場合には, 幾何的な考察により, 正規正接錐が Gorenstein になる楕円イデアルは高々有限個であることなども示すことができた。これは, 可換環論的対象であるイデアルを幾何的に特徴づけることにより証明が可能になった成果の１つと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和４年度はまだ，国内の研究集会の多くがまだハイブリッド開催されている状況であった。また，所属大学では国際研究集会の参加が基本的に認められていなかったこともあり，研究費の使用という観点ではやや遅れが見られた。一方、研究上は正規正接錐という新しい研究対象が見つかり，活性化が期待される状況である。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和５年度は，正規正接錐の Gorenstein 性について, 楕円型イデアル場合を含めて，多くの成果が期待される状況である。これらの結果の広報活動という視点から，可換環論のみならず、広く代数系の主催する研究集会で研究発表する予定である。また，Brieskorn 型超曲面の場合は組み合わせ論的に興味深い結果が得られており，その計算にも時間を割きたい。
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| Causes of Carryover |
令和４年度はコロナ禍の影響で、開催を見送った研究集会が多く、国内出張旅費の消化を計画通り行うことができなかった。令和５年度については山形での共同研究を始めとして、多くの研究集会に参加し、令和４年度までに得られた研究成果を発表したいと考えている。また、正規正接錐の研究上の例として、Brieskorn 型の超曲面を詳しく調べている。この研究においては計算能力の高いＰＣなどが不可欠である。このようなＰＣの購入も検討している。
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