2020 Fiscal Year Research-status Report
The construction of new research foundation for automorphic forms based on Fourier expansions in non-abelian directions
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19K03431
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
成田 宏秋 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70433315)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Fourier-Jacobi展開 / 正則ジーゲルカスプ形式 / 極小放物部分群に関するFourier展開 / 例外型LIe群G_2 / 四元数離散系列表現 / 一般化Whittaker関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度与えた次数２のシンプレクティック群上のカスプ保型形式のFourier-Jacobi展開の一般論について, 正則ジーゲルカスプ形式の場合でより簡単な表示ができることが分かった. この理論は平野幹氏のFourier-Jacobi型の球関数に関する博士論文が重要な基礎になっているが, それによるとFourier-Jacobi展開の各項は, 一般に複数個(非正則な場合は無限個)の重さのヤコビ形式が必要ということであった. しかし, 私が以前与えた正則ジーゲル保型形式の極小放物型部分群に関するFourier展開の理論を応用すると, 複数個必要とされていたヤコビ形式が, 正則な場合, 実は一つの重さのヤコビ形式で十分であることが分かった. この結果はスカラー値の場合のみならずベクトル値の正則カスプ形式一般で成り立つことが示された.
一方, 例外型Lie群G_2の四元数離散系列表現を生成するカスプ形式のFourier-Jacobi展開の理論を構築すべく, Heisenberg群の無限次元表現に対する一般化Whittaker関数の明示公式の計算を続けていたが, こちらの研究は思い通りには進展しなかった. Heisenberg群の指標に対する一般化Whittaker関数の明示公式はAaron Pollack氏により既に与えられ, 彼が与えたSchmid作用素から生じる微分方程式を使って明示公式を与える計算を行い, ２次の微分方程式に変形することを試みるなどして分析を行ってきたが, これまでのところ成果をあげることはできなかった. Pollack氏の結果はFourier-Jacobi展開の指数０の部分の記述を与えたものであるが, 指数一般の場合の結果はこの無限次元表現の場合を片付けねばならない.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
今年度は例外型Lie群G_2のカスプ形式のFourier-Jacobi展開の研究を進展させたいと努力を重ねてきたが進展しなかったということで「遅れている」と評価した. 既に得ている次数２のシンプレクティック群上の保型カスプ形式のFourier-Jacobi展開の理論について新しい知見をえるという結果に恵まれたものの, 当初提案した研究計画という観点からはこのように控え目な評価をせざるを得ないと判断している.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度本研究の最終年度であるが, 例外群G_2の場合の一般化Whittaker関数の明示公式の研究を何とか進展させたいと考えている. 当初の目論見は四元数離散系列表現を生成する保型形式は正則保型形式に解析的に近いふるまいをすると考えられているため, Pollack氏が与えた微分方程式で十分明示公式を導出することは可能と考えていたが, 研究のターゲットにしてきた無限次元表現に対する一般化Whittaker関数の場合は, 昨年度の研究を通してそれだけでは情報不足なのではと考えるようになった. これを受けて現在では平野氏のFourier-Jacobi型の球関数の理論のように, 一般化Whittaker関数をJacobi群の既約ユニタリー表現の基底を使って展開した表示で与え, この表示の観点からPollackの微分方程式を書き直す方針で研究を推進する意向である. 何とか早めに進展させ, 可能なら, この例外群G_2のカスプ形式に対するFourier-Jacobi展開の理論を完成させたいと考えている.
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