2021 Fiscal Year Research-status Report
The construction of new research foundation for automorphic forms based on Fourier expansions in non-abelian directions
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19K03431
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
成田 宏秋 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70433315)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Fourier-Jacobi展開 / 実２次斜交群の退化指標のWhittaker関数 / G_2のFourier-Jacobi型の球関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２０２１年度は実２次斜交群のカスプ形式のFouirer-Jacobi展開と例外型リー群G_2の四元数離散系列表現に対する一般化Whittaker関数の研究両方について一定の進展が認められた。
まず前者について、作業仮設の一つであった「極大冪単部分群の退化指標に対するWhittaker関数が急減少にならない」という条件に関し、これまでの研究成果に加えて成蹊大学の石井卓氏の協力によりSiegel放物型部分群に対する放物型誘導表現でも成り立つことが分かった。これにより現時点で「一般のgeneric表現」の場合で条件の成立が確認できたと思われるところまで進展した。既存の研究で退化指標に対するWhittaker関数の詳しい研究は少なく、しかも非急減少性が一般の表現のクラスで成り立つという結果はないと思われる。
後者については、これまでの方針から転換し実２次斜交群の場合で扱った「Fourier-Jacobi型の球関数」による定式化をこの場合でも採用し、微分方程式を立て直し解の分析を進めた結果、動径成分方向に関しては指数関数で記述し、Heisenberg群方向についてHermite関数の無限和で書けて、定数倍を除いて一意に定まる関数として記述するという観察結果を与えた。微分方程式はtex原稿で３ページに及ぶ非常に長いものになり、解の導出にはかなり難儀したが今回得られたものは本質的な矛盾点がない模様で期待できる結果と考えている。この結果が正しいことが確認されると, Aaron Pollack氏が与えたHeisenberg群の指標に関する一般化Whittaker関数に加えて、Fourier-Jacobi展開の記述に必要な特殊関数がすべてそろうことになる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初の研究期間を延長しての研究の継続となったが、当初の想定通りの進展が得られなかったことがその理由の一つとしてある。しかし、研究実績の概要で述べた実２次斜交群のカスプ形式のFourier-Jacobi展開に関する作業仮設に関する進展は想定外のものである。また例外型リー群G_2の球関数に関する研究も最近ようやく進展の目途が立つと言える状況になった。したがって期間延長の有意義性もここに強調できる。以上をまとめて積極的な評価はし難いが、ポジティブな面もあるので最低評価とはしなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず実２次斜交群のカスプ形式のFourier-Jacobi展開の理論については、退化指標に関するWhittaker関数の非急減少性が一般の既約generic表現に対し成り立つことを確実にチェックを完了し定理として確立することを目指す。可能なら一般のユニタリー表現の場合にも拡張したい。もしこれができたら「作業仮設」とした２つの条件のうち一つが完全に外せることになる。作業仮設のもう一つはFourier-Jacobi型の球関数の「重複度１性質」であるが、これを完全に外すことも目標に置きたい。残っているのはSiegel放物型部分群に対する放物型誘導表現の場合であるが、球関数を特徴付ける微分方程式をとして明示公式を導出するという方針は現実的でないという認識である。何かこの球関数の定性的側面を用いて解決策を模索する。
次に例外群G_2の一般化Whittaker関数の研究はFourier-Jacobi型球関数の定式化に沿って明示的に与えた観察結果を十分に確認し定理として公表できるまでに確立し、その暁にはG_2のカスプ形式のFourier-Jacobi展開の理論の構築を目指す。
以上の２つの研究が目標通りに進展すれば、研究期間の延長はしたものの、十分な研究成果をあげたとして報告できるものになると考える。
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| Causes of Carryover |
研究成果報告のための出張旅費や、学内で対面による講演を交えたハイブリッド開催の研究集会への講演者の招聘費用により科研費の残高を使い切る予定であったが、感染症の突然の爆発的蔓延に伴い予定していた予算執行をすべてキャンセルせざるを得ない事態となり、使い切りが不可能となった。
一方、想定外の研究の進展の見通しが出てきて次年度に研究期間を延長する意義が認められた。当初予定になかった新しい成果を交える形で研究成果をまとめ、その推進のための資料や物品の購入、そして研究成果報告のための出張や研究打ち合わせに必要な旅費等が主な予算使用計画の想定である。
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Research Products
(1 results)
