2023 Fiscal Year Annual Research Report
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19K03432
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
尾崎 学 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (80287961)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 岩澤理論 / 全円分拡大 / Ｚ_p-拡大 / 類数 / Ｋ-群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究で得られた主たる研究成果は以下の通りである：
１．kを有理数体Qの総虚な有限次拡大で，Qの円分的Z^-拡大Q~（Z^はZの副有限完備化）との共通部分がQであるものとする．そしてk~:=kQ~として，L/k~を最大不分岐Abel拡大とする．このとき，X(k)=Gal(L/k~)のZ^[[Gal(k~/k)]]-加群としての構造がkのGalois閉包を完全に特徴付ける．すなわち，k_1,k_2が有理数体の総虚な有限次拡大であり，X(k_1)とX(k_2)がZ^[[Gal(Q~/Q)]]-加群として同型であればk_1とk_2のGalois閉包は一致することを示した．さらに，k_1/QがGalois拡大であるならばk_1=k_2が成立する。
２．総実代数体k上の全円分拡大K:=k(μ)/ｋにおいて、K上の最大不分岐アーベル拡大のガロワ群をX(k)とするとX(k)はZ^[[Gal(k(μ)/k)]]-加群の構造を持つ．このX(k)がkのデデキントゼータ函数を完全に決定することを示した．つまり, X(k)とX(l)がGal(Q(μ)/Q)-加群として同型であればkとlのデデキントゼータ函数は一致する。
３．代数体のpro-p-拡大における様々な数論的不変量のp-進極限に関して研究を行い研究成果を得ることができた．この研究の動機付けとなったのは，吉崎氏（東京理科大学）と植木氏（お茶ノ水女子大学）による，代数体のZ_p-拡大における類数のp-進収束性に関する先行研究である．私はこれを一般化して，まず代数体の有限生成pro-p-拡大においても類数がp-進的に収束することを証明した．その証明は有限p-群の表現の詳細な分析を駆使して行われる．さらにアーベル体上の円分的Z_p-拡大の場合にp-進L函数を用いて，類数とK_2-群の位数のp-進極限の間に簡明な関係式が存在することを示した．
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