2019 Fiscal Year Research-status Report
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19K03433
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
小関 祥康 神奈川大学, 理学部, 助教 (00614041)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | アーベル多様体 / Lubin-Tate 拡大 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、数体あるいは p 進局所体上のアーベル多様体の、「十分大きい」体に値をとる有理点の成す Mordell-Weil 群のねじれ部分群の有限性および可除部分群の消滅姓を考察することを主な目的としている。今年度は特にねじれ部分群の有限性に関する結果について論文を発表し、一定の評価を得た。以下にその結果について述べる。
k を p 進局所体とし、k の与えられた素元πに付随する k 上の Lubin-Tate 拡大体を L とする。今年度の主な成果としては、以下のような性質を満たすπの十分条件を与えることが出来た点が挙げられる：性質『任意の p 進局所体 K と任意の潜在的に良い還元を保つ K 上のアーベル多様体 A に対して、A(LK) のねじれ部分群は有限になる。』実際には、この主張をガロア表現の言葉を用いることで、より抽象的な形で一般化したものを証明することが出来た。πの十分条件を与えたと上述したが、その十分条件を満たしていない場合に問題のねじれ部分群が無限になる例を構成することができているため、かなり「良い」十分条件といえるのではないかと考えている。
この成果は論文にまとめ、Journal of Number Theory (No. 207) に掲載されており、本研究における出発点といえるものである。Lubin-Tate 拡大体の特別な場合として円分 Z_p 拡大体が得られるが、この場合を考えることで1975年に証明されていたアーベル多様体のねじれ部分群に関する有名な有限性定理であるいわゆる「今井の定理」を完全に復元することが出来る。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」欄で説明したアーベル多様体のねじれ部分群の有限性に関する結果は本研究の出発点といえるものであり、可能であるならば初年度の内に結果を出し、完成させておきたいものであったが、無事この件に関する論文は出版までたどり着くことができた。
さらに、Kummer忠実体に関する田口氏との共同研究に関しても、打ち合わせにより検討を重ねてきた結果、プレプリントを完成する段階まで研究を進めることが出来た。
以上の点から、初年度の進捗状況は概ね順調に進展しているといって良いものと考えた。
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| Strategy for Future Research Activity |
アーベル多様体のねじれ部分群の有限性に関しては、今年度の研究では潜在的に良い還元をもつアーベル多様体に限定した上で結果を得た。しかしこの還元に関する仮定を外す目処はすでについているので、まずはその件についての論文を書き上げることを第一の目標としていきたい。また Lubin-Tate 拡大体以外の体についても取り扱いたい。形式群等から得られる自然なクンマー拡大が現在候補としてあがっている。その後は具体的な表現から得られる体を主に考えていくつもりである。
Kummer忠実性に関しては、田口氏との共同研究についてもう一度精査し、さらに遠アーベル幾何の専門家から意見を伺った後に論文を投稿したい。
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| Causes of Carryover |
ほぼ計画通りに使用することが出来た。次年度使用額は関連書籍や消耗品の購入に充てる予定である。
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