2021 Fiscal Year Research-status Report
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19K03436
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
竹ケ原 裕元 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 教授 (10211351)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | バーンサイド環 / テンソル誘導写像 / べき零群 / 可解群 / べき等元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限群Gの各部分群Hに対してモノイドM(H)を対応させる、Gのモノイド関手に対して、M-バーンサイド環と呼ばれる、バーンサイド環の一般化MB(G)が定義される。これまでに、Mがある仮定－仮定Ａ－を満たす場合に、Gの部分群Hに対しMB(H)からMB(G)への乗法的写像である、マッキー分解公式を満たす性質のよいテンソル誘導写像が存在することがわかった。特に、仮定Ａでは、Gの部分群HとHの部分群Kについて、HからK集合VへのK-写像に対する、Vの部分K-集合に関わる普遍性の概念を導入した。
Gが作用する有限可換モノイドSに関して定まるモノイド関手Mがhereditaryであるとは、Gの各部分群Hに対してM(H)はSの部分半群であり (M(H)の単位元がSの単位元である必要はない)、さらに幾つかの条件が成り立つことを言う。このhereditaryモノイド関手は仮定Ａを満たす。Gの部分群束L(G)は、Gの2つの部分群の積をそれらの共通部分と定めるとき、Gを単位元とするモノイドとなるが、Gの各部分群HにHの正規べき零部分群が作るL(G)の部分半群を対応させるモノイド関手Nが存在することを示した。さらに、モノイド関手Nがhereditaryであることの証明の準備を進めた。
上記のN-バーンサイド環について、べき等元による可解群の特徴付けを与える研究に取りかかった。CN(G)を非共役なGのべき零部分群の完全集合とするとき、Gが可解群であるための必要十分条件はN-バーンサイド環の原始べき等元の個数がCN(G)の要素の個数であることを証明する準備ができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モノイド関手Mに関して、Gの部分群Hに対しMB(H)からMB(G)への乗法的写像である、マッキー分解公式を満たす性質のよいテンソル誘導写像が存在するための仮定が明確に示された。また、新たなモノイド関手Nの存在がわかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
Gが左から作用する有限束Lで順序がG不変であるものを考え、モノイド関手MをGの各部分群Hに対してM(H)がLの部分束であるように定めるとき (束はmeetに関して可換モノイドである)、M-バーンサイド環を束バーンサイド環という。有限左G集合Xの部分集合からなる集合Sub(X)はGが作用する束であり、順序はG不変である。そこで、具体的なGとXに対して定まるモノイド環手Mを定義する。例えば、Gをコクセター群とする場合に適当なG集合を定め、M-バーンサイド環が豊富な情報をもつような、モノイド環手Mを導入する。
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| Causes of Carryover |
予定していた、研究成果発表、研究打ち合わせ等のための出張が取りやめになったため。
次年度では、研究成果発表、研究打ち合わせ等の旅費、および図書購入費として使用する。
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