有限群のバーンサイド環の一般化に関する包括的研究

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03436
• Research Institution: Muroran Institute of Technology
• Principal Investigator: 竹ケ原 裕元 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 教授 (10211351)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 有限群 / バーンサイド環 / 束バーンサイド環 / 単数群 / 原始べき等元

Outline of Annual Research Achievements

有限群 G のバーンサイド環の一般化である、G-lattice L に対して、G の各部分群 H と L の H が自明に作用する空でない sublattice (部分束) L(H) の組の族がなす圏で定義されるグロタンディック環 LB(G) を lattice (束) バーンサイド環という。
LB(G) は抽象バーンサイド環であり、LB(G) を含むゴースト環 Gh(G) の単数が LB(G) の単数であるための必要十分条件が知られている。これを LB(G) の単数に関する規準という。それはバーンサイド環の単数に関する吉田の規準の一般化であり、バーンサイド環の単数群の研究が応用可能となる。これまでの研究において、LB(G) の単数に関する規準を用いた LB(G) の単数群の直積分解を与える、G と L に対して定まる element と呼ばれる G の部分群 H と L(H) の元 s の組 (H,s) の集合における、同値関係が定義されている。
LB(G) から定まる有理数係数の Q-代数 QLB(G) の原始的べき等元公式が知られており、原始的べき等元は element に対応している。また LB(G) の単数は QLB(G) のべき等元に対応している。本研究においては、同値関係に関して孤立している element (H,s) に対応する QLB(G) の原始べき等元 e(H,s) について、e(H,s) に対応する LB(G) の単数が存在することを示した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

束バーンサイド環の単数群の研究において重要である、原始べき等元に対応する単数の特徴付けに成功した。

Strategy for Future Research Activity

本研究で得られた結果を、抽象バーンサイド環の場合に拡張し、より普遍的な結果を示す。

Causes of Carryover

研究集会等への出席が予定していた分より少なかった。