Classification theory of projective varieties by Galois points and new developments

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03438
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Yamagata University
• Principal Investigator: Fukasawa Satoru 山形大学, 理学部, 准教授 (20569496)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: ガロア点 / 自己同型群 / Weierstrass点 / ガロア群 / 射影 / 正標数 / 準ガロア点 / ガロワ点

Outline of Final Research Achievements

10 results are obtained. Six of them are posed as follows. (1) A criterion for the existence of non-collinear Galois points (2) A criterion for curves being realized as the Galois closures of two points of a plane curve (3) A connection between the study of Galois points and that of rational functions with small value sets over a finite field (4) Determinations of the automorphism group and the arrangement of Galois points, and elucidation of several properties for a certain elementary abelian p-cover of the Hermitian curve (5) Determinations of the automorphism group and the arrangement of Galois lines for the Artin-Schreier-Mumford curve or the generalized ASM curve (6) Construction of tangentially degenerate curves admitting a separable Gauss map

Free Research Field

代数幾何

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ガロア点やガロア直線は曲線の対称性を表現していると考えられます。本研究においては有限体上定義された代数曲線について、ガロア点やガロア直線の配置を明らかにしました。有限体上の代数曲線は符号（例：QRコード）の構成に用いられています。ここに、ガロア点理論と符号理論とのつながりが見えます。また、本研究では「ガロア点研究」と「有限体上の（有理）関数研究」を結びつけました。有限体上の関数や有理関数は、有限幾何や暗号理論において研究されています。付随して得られた「ガウス写像が分離的な接的退化曲線の構成」は、Terraciniの1932年の問題にさかのぼり、90年ものの問題への貢献となります。