2021 Fiscal Year Research-status Report
多次元数系におけるdigitの漸近的挙動の解析に対する加法数論の応用
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19K03439
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
金子 元 筑波大学, 数理物質系, 助教 (10706724)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 一様分布論 / 数系 / sum of digit / ディオファントス方程式 / 線形回帰数列 / 代数的整数 / ベータ展開 / 円分多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一様分布論では数系におけるdigitや, 数列の複雑さの解明が主な研究課題である. 実際, 素朴な数列にもかかわらず, どの程度複雑であるか未解決なものが多い. 等比数列などの線形回帰数列の小数部分からなる数列の漸近的挙動を解明することが, 典型例な研究課題である.
数系の典型例として, 本年度は正整数の2進展開に関する研究を行った. 具体的には, 整数の積のsum of digitに関連のあるディオファントス方程式の解の有限性を調べた. また, この研究の発展として, 平方数の2進展開のsum of digitに関連のあるディオファントス方程式の解の有限性を示すことができた. Sum of digitの解析により, 整数の2進展開のdigitの複雑さに関する研究成果を得たといえる. コロナ禍ではあるが, 以上の研究はオンラインで国際共同研究を行った結果得られたものである.
また, 昨年度に引き続き数列の複雑さとして, rotational beta展開に関するdigitの複雑さを議論した. 特に, 代数的数を展開した時のdigitの複雑さを保証する定理が, 研究の主結果である. 本研究に関して, さらに一般の高次元に対する研究討議を行った.
また, 線形回帰数列の小数部分を研究した. 特に小数部分の最大極限点を集めた集合について, 幾何学的な性質を調べた. その結果, Lagrange spectrumとして広く知られている現象が, 比較的広い範囲の線形回帰数列の小数部分にもみられることが判明した.
さらに, 本年度は円分多項式に関する研究を行った. 特に円分多項式の係数がもつ新しい整除関係を得ることができた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は論文がされた. その他, 論文の投稿, プレプリント作成や研究集会における報告などを順調に行うことができた. 以下, 具体的に成果を述べる.
まず, 正整数の2進展開に関する研究の進捗状況について述べる. 整数の積のsum of digitに関連のあるディオファントス方程式に関する国際共同研究をまとめた論文が査読付き論文として受理された. また, この研究に関して京都大学数理解析研究所におけるオンライン研究集会(2021年10月)にて発表を行い, 講究録を投稿した. さらに, 平方数のsum of digitに関連のあるディオファントス方程式の解の有限性に関して国際共同研究をまとめた論文を現在投稿中である(現在arXiv上には投稿済みである).
2次元のrotational beta展開に関する結果をまとめた論文を投稿中である. 本論文が受理されるならば, 多次元数系におけるdigitの複雑さに関する新しい方法が確立されたといえる. 本研究の成果はarXivに投稿済みである.
また, 昨年度に引き続き線形回帰数列の小数部分に関して、研究を発展させた. その結果, Lagrange spectrumの類似現象について, 昨年度より詳細な研究成果が得られたため, 論文にまとめた. なお, 研究成果に関する論文を2022年4月にarXivに投稿した. さらに, 本研究に関する成果は京都大学数理解析研究所におけるオンライン研究集会にて2022年2月に発表を行った.
さらに, 円分多項式の新しい整除関係に関する研究成果を論文にまとめた. なお, その研究に関する論文を2022年4月にarXivに投稿した.
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| Strategy for Future Research Activity |
2進数におけるsum of digitに関する議論をする際に, 組み合わせ論に関する議論が重要であることが判明した. 組み合わせ論に関して, オンラインまたは新型コロナウィルスの感染状況次第では対面で国際共同研究を行うことにより, 最新情報を得る. これにより, 特殊な整数の2進展開, およびそれに関連のあるディオファントス方程式の解に関する研究が進展すると期待される.
2022度に, 高次元のrotational beta展開に関する議論をした. このとき, digitの複雑さに関する更なる研究を進めるためには, 四元数環をはじめとする多元環に関する知見が必要であることが分かった. そのため, 多元環の専門家などと研究討議を行いながら高次元数系のdigitの複雑さについて研究を進める. これにより, 多次元数系のdigitの一様性に関する成果が得られると期待される.
線形回帰数列の小数部分に関する研究をさらに発展させるためには, 記号力学系に関する深い知見が必要であることが分かった. そのため, 国内外の記号力学系の研究者と協力して, 線形回帰数列の小数部分の解析を行う. その結果, 線形回帰数列の小数部分の漸近的挙動に関する成果が得られると期待される.
本年度は最終年度であるため, これまでの研究成果を国内外における研究集会, またはオンラインの研究集会などで報告する.
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| Causes of Carryover |
昨年度に引き続き, 新型コロナウィルスのため国内外への出張ができなかったことが主な理由である. 例えば, 予定していたフランス渡航などを中止した.
近況では, 海外渡航も部分的には可能になっているので, 新型コロナウィルスの状況次第では国内外に出張する. 様々な分野の専門家との研究打ち合わせが出張目的の一つである. また, 対面式の研究集会への出席も感染状況次第では視野に入れる. 2022年度は本研究の最終年度であるため, これまでの研究成果を様々な研究集会にて発表する. 研究集会において発表するために, 資料整理などのためにパソコンを購入する予定である.
また, 本研究を進めるうちに, 様々な分野の研究者と協力をする必要が生じた. そのため, 国内外の専門家を招き入れ, 研究打ち合わせをする予定である. さらに, 専門家に講演料を払い講演をしてもらうことにより, 最新の知見を得る予定である.
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Research Products
(4 results)
