2023 Fiscal Year Annual Research Report
Application of cluster algebras to punctured Riemann surfaces and combinatorial representation theory
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19K03440
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
山崎 玲 (井上玲) 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (30431901)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | クラスター代数 / 量子クラスター代数 / 四面体方程式 / 3次元反射方程式 / 量子群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，クラスター代数の離散可積分系と表現論への応用に関して，3次元の可積分性を実現する四面体方程式および3次元反射方程式の解を構成するという新しい研究を開始した．Sunと八木は，2022年にA_3型ワイル群の最長元に付随した配線図にtriangle，square，butterflyという3種類の箙を配置し，量子クラスター代数を用いて四面体方程式の解を構成する方法を提唱した．国場敦夫氏，寺嶋侑二氏との共同研究でこの方法を発展させ，Fock-Goncharov箙とsquare箙の場合に，量子y変数をqワイル代数で表すことにより，四面体方程式の解をある作用素Rの随伴作用として表すことに成功した．さらにSun氏と八木氏も加わった共同研究で対称化したbutterfly箙の場合に同様の結果を得た．これらの結果を3本の論文にまとめた．離散可積分系の対称性に関して、2023年4月にウィーン大学シュレディンガー研究所で開催された研究集会「Non-commutative Geometry meets Topological Recursion」において，3回の連続講義を行った．クラスター代数の表現論への応用に関して，2023年7月にカリフォルニア大学デイビス校で開催された研究集会「FPSAC2023」で招待講演を行った．
2019～2023年度の研究期間全体を通じた成果は以下のようにまとめられる．(1)有限次元単純Lie環に付随したワイル群を周期的な箙のクラスター変異として構成し，その離散可積分系と量子群のq指標への応用について2本の論文にまとめた．特にqが1の冪根のとき，q指標がワイル群作用で不変であることを証明し，q指標を含むある環のワイル群不変部分を特定した．(2)量子クラスター代数とqワイル代数を用いて四面体方程式および3次元反射方程式の解を構成し，上述のように3本の論文にまとめた．
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