2019 Fiscal Year Research-status Report
代数関数体の内部構造の研究 －ガロア点の視点から－
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19K03441
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
高橋 剛 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (60390431)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ガロア直線 / ガロア点 / 弱ガロア・ワイエルシュトラス点 / 準ガロア点 / 代数関数体の内部構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数関数体の内部構造を調べるために、吉原久夫氏（新潟大学名誉教授）は、射影平面内の完備代数曲線（平面曲線）に対して「ガロア点」なるものを定義した。平面曲線のガロア点の概念は、吉原氏により射影多様体の「ガロア部分空間」に拡張されその基礎的研究が行われた。また一方で、深澤知氏（山形大学）と三浦敬氏（宇部工業高等専門学校）と私により、平面曲線の「準ガロア点」がガロア点の拡張として定義され、その研究が進行中である。
平面曲線のガロア点の拡張として、ガロア部分空間や準ガロア点とは別の概念として、（平面とは限らない）非特異完備代数曲線の「弱ガロア・ワイエルシュトラス点」というものが米田二良氏（神奈川工科大学）と私により定義された。弱ガロア・ワイエルシュトラス点はワイエルシュトラス点であり、それには付随する数値的半群（ワイエルシュトラス半群）というものがある。米田氏との共同研究により、付随する半群が二つの自然数によって生成される場合について、弱ガロア・ワイエルシュトラス点の個数を決定することができ、その結果を記した論文は2019年に学術雑誌に掲載された。
平面曲線のガロア点に関する研究は豊富に行われているのに比べて、３次元射影空間内の完備代数曲線（空間曲線）に対するガロア部分空間（ガロア直線）についての研究は圧倒的に少ない。本補助金による2019年度の研究として、空間６次曲線に対してガロア直線の性質を調べた。米田氏との共同研究の結果、弱ガロア・ワイエルシュトラス点の研究成果を応用できることがわかり、特にガロア直線に付随する体拡大の次数が3次、4次、5次の場合に、ガロア直線の本数を決定することができた。ガロア直線に付随する体拡大の次数が6次の場合については、一部未解明の部分があり、2020年度に進展させたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2019年度は以下のように研究が進んだので、概ね順調に進展していると判断する。
1. 山形大学の深澤知氏、東根一樹氏との共同研究が順調に進展した。平面曲線に対して点射影から与えられる体拡大のガロア閉包について、別の２点からの点射影が同じガロア閉包となる条件について定理が得られた。結果をプレプリントとしてまとめることができた。
2. 神奈川工科大学の米田二良氏との共同研究を結果を論文にして学術雑誌に掲載された。 Number of weak Galois-Weierstrass points with Weierstrass semigroups generated by two elements , Journal of the Korean Mathematical Society 56(6), pp. 1463 - 1474, 2019.
3. 神奈川工科大学の米田二良氏と, ３次元射影空間内の非特異６次曲線のガロア直線に関する共同研究を行い、部分的な結果を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
2020年度は本研究課題の２年目である。covid-19の影響で、対面での研究打ち合わせが行いづらい状況である。以下のように研究を進めていく予定である。
1. 共同研究者とオンラインで研究打ち合わせが行えるように設備を整える。
2. 神奈川工科大学の米田二良氏との共同研究を行い、３次元射影空間内の非特異６次曲線のガロア直線について、体拡大が６次拡大となるガロア直線について、その本数と分布を決定する。さらに、得られた結果を論文にまとめて、学術雑誌に投稿する。
3. 山形大学の深澤知氏、宇部工業高等専門学校の三浦敬氏との共同研究を行い、平面曲線の準ガロア点の個数の上限について、より精密な結果を目指す。
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| Causes of Carryover |
年度末に学会や研究集会への出席、研究打ち合わせを予定していたが、covid-19の影響でそれらの出張計画を中止したことにより、次年度使用額が生じた。
次年度の使用計画については、研究打ち合わせをオンラインでできるように環境整備を行う。また、covid-19の影響が落ち着けば、海外研究者との研究打ち合わせに使用する。
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