有限群のコホモロジー論

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03442
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 佐々木 洋城 北海道大学, 理学研究院, 研究院研究員 (60142684)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 有限群 / ブロック・イデアル / デフェクト群 / ソース多元環 / コホモロジー環 / 移送写像 / エクストラ・スペシャル群 / ベキ零ブロック

Outline of Annual Research Achievements

有限群のブロック・イデアルのコホモロジー環をソース多元環の定めるブロック・イデアルのデフェクト群のコホモロジー環の移送写像の像としてとらえることができると予想してきた。しかしながら、ソース多元環は扱いが難しく、当面、デフェクト群を指定して具体的にソース多元環加群構造を解析することによって移送写像を記述し、以って、ブロック・イデアルのコホモロジー環が移送写像の像と一致することを確認するという方法で研究してきた。科学研究費補助金課題15K04777で得られたソース多元環の加群としての直既約直和因子の存在についての知見に基づき、デフェクト群がエクストラ・スペシャル群とよばれる群であるブロック・イデアルについての研究に取り組んできた。ソース多元環が定める移送写像の像がブロック・イデアルのコホモロジー環と一致することを確認し、今年度、研究論文を完成（投稿中）させた。非局所的な原始的べき等元から得られるソース多元環の直既約直和因子についての新しい知見を加えた。
デフェクト群上の直既約両側加群がその定めるコホモロジー環の移送写像が0写像でなく、さらに、その加群が定める部分群が完全被中心化という条件を満たせば、その加群はソース多元環の直既約直和因子に同型であるという定理を示していた。コホモロジー環の移送写像が0写像でないとき、その加群はICC条件と名づけた性質をもつ。そこで、直既約両側加群がICC条件を満たすとき、ソース多元環の直和因子に同型であるかという課題設定をした。この設定の下さらに、その加群が定める部分群が完全被中心化であるかまたはその両側加群が定める部分群へのBrauer対応がべき零ブロックならば、ソース多元環の直和因子に同型であることを示した。さらに、このべき零条件下で直和因子としての重複度についての公式が得られた。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

これまでブロック・イデアルのデフェクト群を指定して、そのソース多元環の加群構造とコホモロジー環について研究を続けてきた。この過程で、ソース多元環の両側直既約直和因子の存在定理を発見することができた。今年度は得られた成果を整理することはできたが、一般的理論の構築に向けての前進はできなかった。

Strategy for Future Research Activity

引き続き、得られたソース多元環の直和因子の存在定理の適用例を増やし、予想の確からしさを強化したい。続いて、p可解群のブロック・イデアルについても予想が成り立つことを確認し、さらに、一般的解決については、対称多元環のホッホシルト・コホモロジー環における安定元の理論、ブロック・イデアルのコホモロジー環の理論を再検討する必要がある。

Causes of Carryover

新型コロナ・ウィルス感染症流行や家事都合により、研究集会やセミナーへの出張参加がなかなかできなかった。
次年度はなるべく出張できるように計画する。