2021 Fiscal Year Research-status Report
McKay correspondence and derived category
| Project/Area Number |
19K03444
|
|---|
| Research Institution | Nagoya University |
|---|
Principal Investigator |
石井 亮 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (10252420)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 導来圏 / 例外列 / spherical twist |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
Hirzebruch 曲面 Σ2 上の exceptional collection について引き続き上原北斗氏および大川新之助氏と共同研究をおこなった．Del Pezzo 曲面上の exceptional collection については，その構造が知られている．Del Pezzo 曲面上の場合は，exceptional collection としては，本質的には連接層からなるものを考えればよかったが，結果を弱 Del Pezzo 曲面に拡張しようとすると，一つの層では表されない複体を考える必要がある．本研究では，弱 Del Pezzo 曲面の典型例である Hilzebruch 曲面 Σ2 の場合に研究を行なった．この研究では，spherical twist と呼ばれる (-2)曲線のまわりで捻るような自己圏同値が重要な役割を果たす．まず，例外対象の各コホモロジー層が (-2)曲線の近傍でどのような条件を満たすかということを調べた．非常に技術的な部分であるが，この部分がこの研究の鍵である．その結果を用いると spherical twist を繰り返し適用することにより例外対象がベクトル束に変換できることを示すことができた．そしてこの手法を拡張すると，導来圏の例外対象が spherical twist の合成で Grothendieck 群でのクラスを保ったままベクトル束に変換できることがわかった．さらに射影直線の積への変形を用いることにより，任意の例外列が充満な例外列に拡張できること，長さ４の例外列の集合に組紐群が推移的に作用すること，などを証明することができた．以上の結果をまとめて3人共著のプレプリントとして公表することができた．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナ禍で出張の機会が少なく，研究打ち合わせや情報収集があまりできなかった．また，専攻主任としてコロナ禍で生じるさまざまな事態に対応する必要があった．
|
| Strategy for Future Research Activity |
より一般の弱 Del Pezzo 曲面の場合を視野に入れて研究協力者と打ち合わせなど行い，研究を進めて行きたい．また，鏡映群に対する McKay 対応の可能性について，情報収集しつつ検討を進めたい．
|
| Causes of Carryover |
コロナ禍で，多くの研究打ち合わせや情報収集ができなかった．また，コロナ禍での専攻主任としての業務に時間を割かなければならなかった．使用計画としては，コロナ禍の影響が少なくなれば，研究打ち合わせや情報収集を行い，それに基づいて具体例の計算や文献調査なども行う予定である．
|
