2023 Fiscal Year Research-status Report
McKay correspondence and derived category
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19K03444
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
石井 亮 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (10252420)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | McKay対応 / クレパント解消 / 半直交分解 / モジュライ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素鏡映群に対するマッカイ対応に関連する導来圏の半直交分解について考察した．一般に有限群Gによる商特異点について，特異点解消の幾何学と群の表現論を結びつけるような対応がある時，その対応はマッカイ対応と呼ばれる．これまで行列式が１の行列のなす有限群の場合や，作用が余次元１で自由な場合が考察されてきたが，商多様体と因子の組を考えることで，それ以外にも拡張可能である場合がある．複素鏡映群の場合には商多様体は非特異であるが，その上の判別式因子を組にして考えることになる．特に3次元の実鏡映群のいくつかの場合にはその組のクレパント解消が存在することを確認していたが，それらクレパント解消から商多様体へ至る（多様体と因子の組の）極小モデルプログラムを記述することにより，クレパント解消とその上の因子の組に付随するDMスタックの導来圏の半直交分解を記述することができた．3次元の場合には鏡映群の場合にも導来マッカイ対応がこのDMスタックと同変連接層の導来圏の間の圏同値として成立するので，同変連接層の導来圏にも半直交分解ができたことになるが，この記述は Polishchuk-Van den Bergh の予想をそれらの場合に確かめたことになる．
その他，投稿していた群作用つきダイマー模型についての共著論文の査読が終わり，若干の修正を経て無事出版された．また，ダイマー模型に付随する箙の表現のモジュライ空間について，いわゆる "0-generated stability" を安定性として採用した場合に考えられる格子凸多角形についての操作について，Craw氏及び大学院生と議論した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍の影響は少なくなり，12月にはアブリIPMUで国際研究集会を開催することもできた．そこで各国から集まった研究者と議論することにより，研究の方向性についてのアイデアを得ることができた．その他に，3次元の鏡映群に対するMcKay対応の定式化ができ，実際にいくつかの場合に成立することが確認できた．2次元の複素鏡映群の場合の研究も，大学院生の協力を得ながら進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
複素鏡映群から定まる(滑らかな)商多様体と因子の組から定まる最大特異点解消について，その導来圏の半直交分解を考察する．当面は3次元以下の場合に Polishchuk-Van den Bergh の予想の解決を目指す．それを元にして，より一般に複素鏡映群の導来 McKay 対応としてどのようなことが言えるべきかを考察する．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍で使用しなかった頃の余剰が大きかったことと，まだ海外出張をしなかったことにより，次年度使用が生じた．使用計画としては，情報収集およびアイデア交換 のための出張や招聘の旅費に用いる予定である．
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