2024 Fiscal Year Annual Research Report
McKay correspondence and derived category
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19K03444
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
石井 亮 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (10252420)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | McKay対応 / クレパント解消 / 最大特異点解消 / 半直交分解 / ダイマー模型 / モジュライ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度は，階数3の実鏡映群に対するマッカイ対応について大学院生の仁村氏と共同で考察した．このように作用が余次元１で自由でない群作用に対しては，単なる商多様体の代わりに商多様体と因子の組を考えることによってマッカイ対応を定式化することができる．階数3の実鏡映群の場合に，そのような組の最大特異点解消と呼ばれる特別な特異点解消を構成することに成功し，最大特異点解消とその上への因子の狭義変換の組から定まる Deligne-Mumford スタックの導来圏と元の群の同変導来圏の間に圏同値が成立することを示した（導来マッカイ対応）．さらに最大特異点解消に対する極小モデルプログラムを記述することにより，上述の導来圏に半直交分解を構成し，階数3の実鏡映群に対する Polishchuk-Van den Bergh の予想を解決した．
また，ダイマー模型に付随する箙の表現のモジュライ空間について，いわゆる "0-generated stability" を安定性として採用した場合に考えられる格子凸多角形についての操作について，大学院生の Capellan氏と引き続き議論をした．
研究期間全体を通じては，群作用付きダイマー模型について Nolla氏，植田氏とともに研究したものを論文にまとめ，出版された．中村郁氏との共同研究も出版された．大川氏，植田氏と共同で２次の Hirzebruch 曲面上の exceptional collection について研究を行い，導来圏の例外対象が spherical twist の合成で Grothendieck 群でのクラスを保ったままベクトル束に変換できること，任意の exceptional collection が充満なものに拡張できること，長さ４のcollectionの集合に組紐群が推移的に作用することなどを示した．論文として投稿中である．
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