2019 Fiscal Year Research-status Report
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19K03448
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
吉野 雄二 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (00135302)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 三角圏 / Cohen-Macaulay加群 / DG代数およびDG加群 / シジジー / 導来圏 / ホモロジー代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可換ネータ環上の有限生成射影加群から成る非有界複体のなす導来圏において、加群圏における古典的Auslander-Bridger 理論に相当するものを構築した。これによって、可換ネータ環Rの全商環がGorenstein環であるという仮定のもとで、R 上の有限生成射影加群から成る非有界複体 X について、Xが完全列であることとそのR双対Hom(X, R)が完全列であることは同値であることが示された。これは可換環に対する太刀川予想の類似を含む定理であり、研究代表者が長年考えてきた全反射加群（totally reflexive module）の条件の非独立性を示すものである。
以上は可換環上の加群に関する研究であるが、このような手法や考え方を強可換なDG代数上のDG加群に適用することで、可換環上の加群の理論に新しい局面を切り開く研究をしてきた。特に、可換環のテイト分解として得られるような強可換なDG代数について、その上のDG加群の「持ち上げ問題」に関しては、研究代表者が予想していた通りの結果を一変数の自由拡大の場合に証明することができた。これは、加群の変形理論から予想さることであったが、正次の自己Ext加群 (Ext^i(X, X)と書かれるもの、ただしi>0）の消滅から、 X の係数環への持ち上げ可能性が導かれるというものである。
2019年度には上記の成果の内のいくつかを、テヘラン、バルセロナ、名古屋で開催された各研究集会で講演（招待講演）を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
強可換なDG代数上のDG加群に関する「持ち上げ問題」に関して、一変数の場合に予想していた成果が得られたばかりではなく、多変数の場合に道を拓く方法があることがわかった。
これはこのような理論構成と予想解決を目指す研究においては躍進的な結果であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
可換環のTate分解によって得られるようなDG代数、すなわち多変数（一般的には可算無限個の変数）による自由拡大によって得られるような強可換DG代数の上のDG加群の持ち上げについて、一変数の場合に培った手法を適用して、持ち上げ可能性に対する十分条件を得ることができると信じている。それが可能になると代数学において長年問題であったAuslander-Reiten予想の解決につながるものであるので、十分大きな波及効果が期待できる。
また、共同研究者との研究打ち合わせのための出張や研究成果発表および意見の聴取を目的とした学会・研究集会への参加に係る諸費用として研究費のほぼ全額を使用する予定である。
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| Causes of Carryover |
出席を予定していた国内学会および研究会が、新型コロナウイルスのために休止となった。次年度分の学会および研究会のための旅費としてこれを使用する。
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