2022 Fiscal Year Research-status Report
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19K03448
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
吉野 雄二 岡山大学, 自然科学研究科, 特命教授 (00135302)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | DG代数 / DG加群 / 導来圏 / 三角圏 / Cohen-Macaulay加群 / 安定圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可換ネータ環上のホモロジー代数に関する幾つかの予想を解決することを目指して、「強可換なDG代数上のDG加群のホモロジー代数」というより大きな枠組みで予想を捉え直してその本質に迫ることで解決の方法を探るのが本研究の独自な視点および方法である。
その一つの成果として、ここ数年の間に、DG加群の持ち上げ問題（lifting problem）について数多くの成果が得られ、それによって可換環上の加群に関するAuslander-Reiten予想の解決に向けての希望が大きく膨らんできた。具体的には、基礎となる強可換DG代数の上に可算個の変数を添加して得られる自由代数上に与えられたDG加群に関するnaive liftingという新しい概念を導入して、それが成立するための必要十分条件がいくつか得られた。その結果はそれまでに代表研究者がSaeed Nasseh氏や小野舞子氏と共同で得ていた一変数の自由拡大の場合のweak liftingに関する結果を含むもので、有限変数拡大の場合には完全交叉環上のAuslander-Reiten予想が正しいことを導くものでもある。この研究は上記の二人の共同研究者との共著として Math. Zeitschrift vol. 301 (2022), 1191-1210に発表された。また、強可換DG代数上のDG加群のnaive liftingの障害類が、DG加群に付随する接続(connection)から定まるAtiyah 類と一致することがわかった。 (arXiv:2109.00607) これはnaive lifting が可換代数の範囲に止まらず非可換幾何学とも関連することを示唆している。またこれを利用して我々が正しいと想定しているnaive lifting予想の証明の手がかりが見えてきた。現在は共同研究者と議論を進めているところである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
DG加群の持ち上げに関するnaive lifting 理論という独自理論の構成に至った。さらにnaive liftingの持つ性質が徐々に判明してきている。これによって「Auslander-Reiten予想の仮定と同等の条件の下で、naive lifting が成立する」というnaive lifting 予想の証明に手がかりが得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
強可換DG代数上のDG加群のnaive liftingの障害類が、DG加群に付随する接続(connection)から定まるAtiyah類と一致することがわかった。(arXiv:2109.00607)
これは我々のnaive lifting理論が、単に可換代数の範囲に止まらず非可換幾何学とも関連することを示唆している。
一方で、naive liftingの障害類やAtiyah類は、与えられたDG加群のみで決まるわけではなくDG代数の対角イデアル(diagonal ideal)が重要なファクターである。この対角イデアルのテンソル代数を考えると、Atiyah類はこのテンソル代数上にまで拡張されることがわかった。これによってnaive liftingの障害類に関する新たな知見がいくつも生まれつつある。これらをさらに詳しく検討してnaive lifting 予想の解決を目指す。
それが可能になると代数学において長年問題であった可換環上の加群に関するAuslander-Reiten予想の解決につながるものであるので、十分大きな波及効果が期待できる。
研究費については、共同研究者との研究打ち合わせのための出張や研究成果発表および意見の聴取を目的とした学会・研究集会への参加に係る諸費用としてほぼ全額を使用する予定である。
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| Causes of Carryover |
昨年度まで、COVID-19パンデミックのために予定していた国内及び海外の出張が取りやめになったり、自粛のために不参加にしたり、出張のかわりにオンラインで参加したりした。 パンデミックがほぼ終焉したみなされる今、研究打ち合わせや研究会出席などの出張を再開するつもりである。
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