グラフ上の調和解析の視点による整数論の研究

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03450
• Research Institution: Ehime University
• Principal Investigator: 平野 幹 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (80314946)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山崎 義徳 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00533035) ; 原本 博史 愛媛大学, 教育学部, 准教授 (40511324)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 代数学 / 整数論 / グラフスペクトル論 / 有限対称空間 / 有限特殊関数

Outline of Annual Research Achievements

今年度は、代数的に定義された有限正則グラフに対する明示的調和解析を整数論の観点で考察するための基礎的な考察を昨年度に引き続いて行った。とりわけ、関連する特殊関数に焦点を絞り、その有限型類似物について考察した。

有限体上の簡約可能群および関連する対称空間に付随する有限正則グラフ上の調和解析を整数論の観点で考察するためには、指数関数や超幾何型関数、ガンマ関数といった、通常の調和解析や整数論に現れる特殊関数の有限型類似物についての理解が不可欠である。これらの特殊関数の有限型類似物はこれまでにも豊富に考察されているが、今年度は有限体上の代数群上の調和解析とその周辺について、とりわけ表現の記述の視点から考察し、理解を深めた。とりわけ、保形形式などの深い研究において見られるように、特定のゲルファント対に関連する球関数を特殊関数として明示的に記述することは、そのゲルファント対から得られる対称空間上の調和解析に基づく整数論的考察において肝要である。有限体上の代数群に対するゲルファント対の研究は非常に多くみられるが、有限特殊関数の詳細な研究とその整数論への応用の観点から整理されたものはあまり多くないように思われる。これらについて散見される事実を整理することにより、本研究課題であるグラフ上の調和解析の視点による整数論の研究に向けた基盤整備を進めているところである。

今後は、これまでの2年間の研究により得た整数論と関連する有限型特殊関数についての知見をさらに深めると同時に、これらを活用して整数論的視点による有限体上の簡約可能群および関連する対称空間に付随する有限正則グラフ上の調和解析の明示的研究を進める予定である。また、ラマヌジャングラフについての研究にも着手したいと考えている。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

基本的かつ重要な有限型特殊関数についての知見を得たものの、本研究課題についての新たな研究成果は想定通りには得られていない。今後は今年得た知見の有限体上の調和解析への活用と、ラマヌジャングラフに対する先行研究の進展を目指すべきであろう。

Strategy for Future Research Activity

今後も有限体上の簡約可能群および関連する対称空間に付随する有限正則グラフ上の調和解析を整数論の観点で考察することについて、ラマヌジャン性および有限体上の特殊関数の二つの観点から研究を進め、問題の本質を見極めたいと思っている。

Causes of Carryover

昨年度に引き続き予備的な研究に労力を割いたことに加え、とくに今年度は新型コロナウイルス感染症の影響により出張による情報収集や成果発表の機会がほぼ消滅したことにより、研究交流活動が想定を下回った。
次年度はこれまで得てきた部分的成果をまとめ、専門家との意見交換および成果発表等の方法を工夫し研究を実施する計画である。