2019 Fiscal Year Research-status Report
Representations of finite groups and Auslander-Reiten quivers
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19K03451
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| Research Institution | Nagoya City University |
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Principal Investigator |
河田 成人 名古屋市立大学, 大学院システム自然科学研究科, 教授 (50195103)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 有限群 / 表現論 / Auslander-Reiten有向グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限群の表現論において、表現加群をテンサーしたときの状況を調べることは興味深い問題である。テンサー積にまつわる問題に対してAuslander-Reiten理論を応用するために、有限群の整数表現（完備離散付値環上の表現）のカテゴリーにおいて、Scott加群の概分裂短完全列とテンサー積について研究を進めた。Scott加群とは、ある置換加群の直規約因子で、そのheadとsocleが自明な表現加群となっているものである。なお、自明な加群はScott加群の特別な例である。AuslanderとCarlsonは、自明な表現加群の概分裂短完全列にトレース分裂加群をテンサーするとトレース分裂加群の概分裂短完全列が構成できるという興味深い定理を示した。一般に、概分裂短完全列は直規約加群の概射影的自己準同型写像から構成される。自明な加群の場合では概射影的自己準同型写像が定数倍写像であるという事実からAuslander-Carlsonの定理が導かれる。次の段階として、Scott加群の概分裂短完全列を構成するためにScott加群の概射影的自己準同型写像について考察を進めた。まず、Green対応を利用することで、対象とする有限群を局所部分群に帰着させることが可能であることを確認した。次に局所部分群においてScott加群の概射影的自己準同型写像を調べて、その写像をある部分群に制限すると自明な表現加群の概射影的自己準同型写像であることが分かった。このことから、Scott加群の概分裂短完全列にある条件を持った直既約表現加群をテンサーすると、その直既約表現加群の概分裂短完全列が構成できることを示すことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Scott加群の概分裂短完全列の構成を詳しく解き明かすことができた。そのため、有限群の表現加群のテンサー積についての研究を進捗させることが可能となり、Auslander-Carlsonの定理を拡張した結果を示すことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
Scott加群とテンサー積の性質を有効に利用すれば、ある種の整数表現加群の特徴付の可能性が期待できる。そのためにScott加群の概分裂短完全列やAuslander-Reiten有向グラフを利用して直既約加群のテンサー積の性質の解明を進める。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で予定していたいくつかの研究集会が中止となったため、次年度使用額が生じた。次年度には延期された研究集会に出席するための旅費に使用する予定である。
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