2021 Fiscal Year Research-status Report
Representations of finite groups and Auslander-Reiten quivers
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19K03451
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| Research Institution | Nagoya City University |
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Principal Investigator |
河田 成人 名古屋市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50195103)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 有限群 / 表現論 / Auslander-Reiten有向グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Gで有限群を表すことにする。pは有限群Gの位数を割り切る素数とし、kを標数がpの体とする。有限群Gの体k上のモジュラー表現において、Scott 加群と呼ばれるkG-加群は重要な役割を果たす。Gのp-部分群Qに対し、Qをヴァーテックスとして持つScott kG-加群Sとは、自明なkQ-加群を誘導して得られる置換kG-加群の直既約因子であって、そのheadとsocleが自明な加群となっているものである。一般に、kG-加群のテンサー積の直既約分解を調べることは興味深い問題である。直既約kG-加群MがQ-射影的であれば、SとMのテンサー積の直既約因子としてMが現れることが知られている。そこで、Sの概分裂短完全列AにMをテンサーして得られる短完全列Bはどのような短完全列となるかを考察し、局所部分群の場合にAの構造を詳しく調べることができた。その結果を反映させることにより、多くの場合は分裂した短完全列となってしまうが、MのQ-ソースがトレース分裂加群であるときには、BはτMから始まりMで終わる短完全と分裂短完全列との直和となることが分かった。ここでτはAuslander-Reiten移動と呼ばれる作用である。さらに、有限群Gの整数表現（完備離散付値環上の表現）においても研究を進めて、Qをヴァーテックスに持つScott 表現加群の概分裂短完全列にQ-射影的な表現加群Lをテンサーして得られる短完全列は、ΩL（ここでΩはHeller作用素）から始まりLで終わる短完全列と分裂短完全列との直和となることを確かめることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Scott加群の概分裂短完全列と直既約加群のテンサー積として構成される短完全列がどのようなものかを調べていくことにより、ある種の直既約加群の概分裂短完全列やAuslander-Reiten連結成分の性質が詳しく分かるようになると期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
有限群の表現論において、テンサー積をScott表現加群に関連させて研究を推し進めることにより、単純加群やその概念を一般化させた表現加群の解明につながることが期待できる。そのため、Auslander-Reiten理論を活用して、概分裂短完全列のテンサー積の研究を展開する。
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| Causes of Carryover |
2021年度は新型コロナウイルス感染症の影響で旅費を使用できなかった。研究集会が開催されたり、対面で研究打ち合わせができるようになれば旅費を活用して更に研究を進展させたい。
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