2022 Fiscal Year Annual Research Report
Representations of finite groups and Auslander-Reiten quivers
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19K03451
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| Research Institution | Nagoya City University |
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Principal Investigator |
河田 成人 名古屋市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50195103)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 有限群 / 表現論 / Auslander-Reiten有向グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Gを有限群とし、素数pは群Gの位数の約数であるとする。Rは極大イデアル(π)を持つ標数0の完備離散付値環で剰余体R/(π)の標数がpであるものとする。有限群Gのp-部分群Qの自明な表現加群をGに誘導して構成される置換加群の直既約因子で、そのheadとsocleが自明な直既約RG-表現加群Sを、Qをヴァーテックスとして持つScott加群と呼ぶ。本研究では、Sを含むAuslander-Reiten有向グラフの連結成分に属する直既約RG-表現加群の性質や、Sの概分裂短完全列Aに直既約RG-表現加群Lをテンサーすることで得られる短完全列Bの性質について考察を続けてきた。特に、Lがvirtually irreducibleである場合に限り、BがLの概分裂短完全列になることが解明できた。ここで、RG-表現加群Lがvirtually irreducibleであるとは、Lの自己準同型環が単純な性質を持つときであり、既約RG-表現加群の概念の一般化とみなされる重要なクラスのRG-表現加群である。令和４年度には、直既約RG-表現加群Lとその双対加群の直既約分解においてQをヴァーテックスとして持つScott加群Sが重複度1で現れることと、短完全列BがLの概分裂短完全列となることが同値であることを示すことができた。その結果として、Qをヴァーテックスとして持つ直既約RG-表現加群Lがvirtually irreducibleであることと、Lとその双対表現加群のテンサー積においてQをヴァーテックスに持つScott加群Sが重複度1で現れることが同値であるという、興味深い結果を得ることができた。
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