多角的な観点から見たゼータ関数の値分布

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03455
• Research Institution: Tokyo Denki University
• Principal Investigator: 見正 秀彦 東京電機大学, システムデザイン工学部, 教授 (10435456)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 値分布 / Selberg zeta 関数 / 普遍性 / 数論的ゼータ関数 / 密度関数

Outline of Annual Research Achievements

2023年度は研究実施計画に掲げた3つの目標のうち、目標③“複数のゼータ関数に対する値分布”についての2つの研究に取り組んだ。個々の取り組みの状況について説明する。
1. 昨年得たSL_2(Z)の異なる指標に付随するSelbergゼータ関数間に同時普遍性定理の証明についてプレプリントを完成したが、指標の直行性について見落としがあることが指摘された。改良に取り組んでいるが、有効な打開策を未だ模索中である。
2. 松本耕二氏、伊原康隆氏らにより、リーマンゼータ関数の値分布を記述する密度関数（M関数）が発見された。その後、多くの数論的ゼータ関数についてM関数が発見されている。申請者はSL_2(Z)のSelbergゼータ関数についてM関数の計算に取り組んでいる。絶対収束域Re(s)>1におけるM関数は容易に構成できたが、関数の本質的な性質の現れる帯領域1/2<Re(s)<1においては収束性の問題を解決するための模索が続いている。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

2022,2023年度の2年間にわたり、申請者は所属する大学内組織（数学系列）の主任を務めていた。これが研究の進捗が遅れていた最大の要因である。
精神的な焦りもあってか、研究実績でも述べた証明の見落としをしてしまったが、そのことも精神的なストレスになっていたように思う。

Strategy for Future Research Activity

橋本康史氏は最近、2020年に申請者が証明した異なる主合同部分群に付随するSelberg zeta関数間の同次普遍性定理がより広い帯領域内で成立することを証明した。その中で橋本氏は多くの解析的な評価式、手法をを導入している。橋本氏の手法を活用すれば、研究実績概要で挙げた、停滞中の2つの研究課題について進展が得られるのではないかと考えている。
この2つの課題と並行し、2022年度も課題として挙げた、指標をパラメーターとして変動した場合のSelberg ゼータ関数の普遍性の研究に取り組む所存である。

Causes of Carryover

当初は2023年度交付額の大部分を出張旅費として利用する予定でした。
しかし、所属大学での管理業務による精神的、時間的な負担が思ったより大きかったこと、
また、発表予定の結果に証明のミスが見つかり、問題を年度内に解決することができなかったため、2023年度の交付額の大部分を次年度にそのまま持ち越すことに決めました。