2020 Fiscal Year Research-status Report
The Cohen-Macaulay property of ideals associated with subspace arrangements
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19K03456
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| Research Institution | Kansai University |
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Principal Investigator |
柳川 浩二 関西大学, システム理工学部, 教授 (40283006)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Specht ideal / 組合せ論的可換代数 / Cohen-Macaulay性 / Specht 加群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代表者は、本研究課題開始直前の2018年執筆の論文で、「Specht ideal は、いつ Cohen-Macaulay(以下 CM)になるか？」と言う基本的な問いを、標数0の場合に解決した(査読付き学術雑誌に掲載決定済み)。具体的には、標数0のとき、対応するイデアルがCMとなる分割は、次の3種類である。ア. (d,1,...,1), イ. (n-d,d), ウ. (d,d,1)。このうち「ア」は比較的簡明だが、「イ」と「ウ」はデリケートであり、未解明な点が多い(ただし、(n-1,1)の場合は自明)。たとえば、d≧3 のとき、(n-d,d) の Specht ideal のCM性は標数に依存する(標数０のときが最も CM になり易い)。
その後、本研究課題初年度である2019年度には、岡山大学大学院生(当時)の柴田孝祐氏との共同で、「イ」と「ウ」の場合に、剰余環のHilbert 級数を決定した(査読付き学術雑誌に掲載決定済み)。
ここからの直接の流れとして、2020年度には、やはり柴田氏との共同で、標数０の場合に、分割 (n-2,2), (d,d,1) の Specht ideal の極小自由分解を、対称群の表現論(Specht module の理論)を用いて構成した。(n-2,2)の場合は Gorenstein、(d,d,1)の場合は linear free resolution となり、一般の (n-d,d)より格段に制御し易いのが、構成が可能だった理由である。極小自由分解の各自由加群は、既約な Specht module に対応している。この結果も既に論文に纏めており、現在投稿中である。現在はこの結果を一般の (n-d,d) の場合に拡張すべく模索中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上述の通り、新しい結果は順調に得られており、幾つか有望と思われるアイデアも有るが、コロナ禍で遠隔授業となった影響で、例年よりも遥かに多忙となり、アイデアを精査したり、得られた結果を論文に纏めたりする時間の確保に苦慮している。また、研究集会も激減して、成果発表をし辛くなっている他、（どこまでコロナの影響かは分からないが）投稿した論文の査読時間も、平時より長くなっていると感じる。このように、研究自体はかなり好調ながら、「研究業績」になるまでに通常以上の時間がかかっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
上の「研究実績の概要」欄で述べたように、分割 (n-2,2)や(d,d,1)に付随したイデアルの極小自由分解の Specht module を用いた記述は、2020年度に得られている。現在は、これを一般化した、分割 (n-d,d) の場合の極小自由分解の構成も、目途が立っており、2021年度は細部を確認しながら論文を執筆していくことになる。
ただし、コロナ禍は現在も続いており、研究時間が圧迫されがちなこと、(特に対面形式の)研究集会の開催数が激減していること考慮すると、研究の進展は遅れ、予算も本年度中には執行し切れないことが予想される。その場合は、2022年度にずれ込むことになる。研究期間が延長された場合、表現論のより本格的な応用を志向するのは当然として、純可換環論的な問題として考えられるのは、代表者の2018年の論文で予想されながら現時点でも全く手つかずの、「一般の Specht ideal の被約性」の問題がある。未解決の範囲で最も簡単な (d,d,2)の場合を、グレブナ―基底を用いて精査することから始めたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
経費の大半を(海外を含めた)出張旅費に充てる予定であったが、2020年度は新型コロナの影響で対面型の研究集会が殆ど開催されなかった。また、研究打合せのための出張も、コロナを警戒し、例年より回数を減らさざるを得なかった。以上により、実際に使用した額は、予定額を大幅に下回った。
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