2021 Fiscal Year Research-status Report
Categorical study for representations of finite groups
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19K03457
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
小田 文仁 近畿大学, 理工学部, 教授 (00332007)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 有限群の表現論 / マッキー2-関手 / マッキー2-モチーフ / バーンサイド環 / 斜バーンサイド環 / マッキー関手 / 圏論 / 2-圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今回の研究課題に関連して、今年度マッキー2-関手、コホモロジカルマッキー2-関手に関する以下のような結果を得た。バルマー氏、デランブロジオ氏により導入されたマッキー2-関手Mは、有限亜群の2-圏から可換環R上の加法2-圏への対応であり、有限群Gに対してM(G)を与えることで定義されるものである。その後の彼らはコホモロジカルマッキー2-関手を導入し、マッキー2-関手が斜バーンサイド環のべき等元、コホモロジカルマッキー2-関手が群環のべき等元をそれぞれ用いて分解されることを示した。本研究では、それらの分解において零化される斜バーンサイド環や群環のべき等元の特徴付けに関する結果が得られた。具体的には、Rとして、有理整数環、十分大きな標数0の体、p-局所環（pは素数）の場合の結果である。この結果を京都大学数理解析研究所で行われたRIMS共同研究「有限群のコホモロジー論とその周辺」で講演した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一昨年度は新型コロナ禍による感染防止対策による通常業務の圧迫により研究進展の遅延が発生したが、徐々に対策に関する準備が整えられたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の中心的な研究対象である有限群の斜バーンサイド環は、約20年前に導入されいくつかの研究成果が得られたが、その後ほとんど研究されないままの状態で今日に至っている。原始べき等元公式は、小田-吉田や、ブック氏による結果が得られているが、具体的な計算結果に乏しく、基礎的研究も皆無である。近年のバルマー氏、デランブロジオ氏によるマッキー2-関手マッキー2-モチーフ理論では、斜バーンサイド環が中心的な役割を果たすことが証明されており今後の基礎研究が注目を浴びることは必至であると思われる。まず、小さな有限群に対して、斜バーンサイド環のべき等元を計算することで、研究推進してゆくことは自然な方策であると考えられる。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍による他研究機関等への出張が計画できなかったため。オンラインシステムの利用により代替的な活動は行えたが、高度に抽象的な研究分野であるため、対面による研究打ち合わせは不可欠である。令和4年度は、対面による研究打ち合わせ等のための出張が可能になることが大いに期待できる。対面による研究集会や研究打ち合わせの出張を積極的に行いたい。
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