2019 Fiscal Year Research-status Report
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19K03459
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 集中位相 / ボックス距離 / 楕円 / ガウス空間 / オブザーバブル距離 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は楕円の臨界極限について研究した（数川氏と共同）．次元が無限大へ発散する楕円の列の臨界スケールオーダーは次元のルートであることは，従来の研究から分かっていた．楕円の長軸の径は定数のオーダーとする臨界スケ ールにおける極限空間は（分散共分散行列が単位行列とは限らない）ガウス測度 をもつ無限次元空間（ガウス空間と呼ぶ）であろうと予想していたが，これの証明に成功した．従来の球面と同じ方法では証明できないが，アイディアとしては，有限個の固定された座 標軸について，その径が2より大きく，他の座標軸 の径は全て2であるような楕円の場合に議論を帰着させることである．さらに，漸近的集中（オブザーバブル距離についてコーシー列となること）の必要十分条件，またボックス距離（測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束の距離化）による収束の必要十分条件も決定した．特にボックス距離に関する収束は非自明であった．その理由は，楕円の一様測度の列が共通のヒルベルト空間の上では収束しないことが分かるが，それからボックスに関しても収束しないことが分からないからである．ここでの証明のアイディアは，空間を縮小することにより，集中位相に関する極限が１点空間の場合に帰着させることである．元の空間の条件から，縮小した空間がボックス距離について１点空間へ収束しないことを示すことにより，元の空間もボックス距離について収束しないことを導く．これらの成果についてプレプリントとしてまとめて，学術雑誌へ投稿した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
楕円の収束を証明するのには，２～３年程度かかると計画していたが，1年で完成してしまったため．
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| Strategy for Future Research Activity |
楕円体の収束の結果をさらに拡張あるいは一般化する．楕円体は各座標の定数倍の自乗和が１以下というものだが，これをp乗和が１以下とする．またユークリッド空間の距離をユークリッド距離ではなく，バナッハ距離にかえてみるとどうなるかを考察する．
積空間のオブザーバブル直径，力学系の集中位相に関する極限について，計画通り考察する．
また，群の測度距離空間への等長的で測度を保つ作用について考察する．極限において作用が保たれるか，ピラミッドへの群作用について研究する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの蔓延により，出席予定だった学会が中止になったため，旅費に余りが生じた．
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