2021 Fiscal Year Research-status Report
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19K03459
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 距離空間 / Gromov-Hausdorff空間 / コンパクト化 / 無限次元空間 / 群作用 / ボックス距離 / オブザーバブル距離 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２つの距離空間の間の擬距離を定義し，それがGromov-Hausdorff空間の自然なコンパクト化を与えることを証明した（中島啓貴氏と共同）．これはウルトラ極限と適合するものである．コンパクト性の証明が鍵となるが，その証明のアイディアは，Gromovによる測度距離空間の理論に現れるピラミッドの概念を距離空間へと移植することである．さらに次元が無限大へ発散する様な収束する空間列の興味深い例を幾つか考察した．この成果は論文を投稿中である．
別の研究として，測度距離空間の間のボックス距離およびオブザーバブル距離の概念を等長的かつ保測な群作用をもつ測度距離空間の間の距離へ拡張した（中島啓貴氏と共同）．先行研究として，深谷賢治氏により等長的群作用をもつ距離空間の間の距離がGromov-Hausdorff距離を拡張することで得られており，これはリーマン多様体の崩壊理論に応用された．距離空間の場合とは異なり，ボックス距離，オブザーバブル距離の定義は非自明であり，収束に関する基本性質の証明も極めて非自明である．具体的には以下を証明した．１．距離となることの証明．特に非退化性の証明ではカップリングの概念を用いることにより可能となった．２．群作用をもつ測度距離空間がボックス距離またはオブザーバブル距離で収束するとき，商空間も同様に収束する．この証明では，thick-thin decompositionの概念を用いた．３．群作用をもつ測度距離空間から測度距離空間への群作用を忘れる射影が固有写像であることを示した．４．ボックス距離に関する収束列の例として，レンズ空間の列が無限次元複素射影空間の錐へ収束するような測度距離構造を構成した．これは距離空間では得られないという意味で重要な興味深い．この成果も論文を投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究計画にある群作用付きの収束の研究を完成させたことに加えて，当初予定にはなかったGromov-Hausdorff空間のコンパクト化についても成果を得たため．
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度，曲率が上に有界な２次元アレクサンドロフ空間の研究論文を執筆し投稿したが，証明に不十分な点が見つかった．今年度，この証明を完遂させる（山口孝男氏・永野幸一氏と共同）．
また，測度距離空間全体の空間の位相構造についての研究を行う（数川大輔氏・中島啓貴氏と共同）．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため，参加を予定していた幾つかの研究集会が中止となったため．
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